Resolva as integrais indefinidas:
\int 4 x \cdot \operatorname{cosec}^{2} x d x
Dica: fazer u=x^{2} e d v=x \cdot \operatorname{sen} x^{2} \cdot d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx.
Informações dadas relevantes:
  • A integranda é 4x multiplicado por \operatorname{cosec}^{2} x (isto é, (\operatorname{cosec} x)^2).
  • Queremos uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: usar integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que escolhi essa estratégia.
Fórmula de integração por partes:
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
Aqui u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u de modo que sua diferenciação fique mais simples e dv de modo que possamos integrar para obter v.
Escolho
u = 4x,\qquad dv = \operatorname{cosec}^{2} x \, dx.
Motivo: 4x é uma função polinomial simples cuja derivada é mais simples, e sabemos uma primitiva direta de \operatorname{cosec}^{2} x.

Passo 3

Calcular du e v.
Diferenciando u:
du = d(4x) = 4\, dx.
Encontrar v tal que dv = \operatorname{cosec}^{2} x \, dx. Lembrando que a derivada de \cot x é -\operatorname{cosec}^{2} x, logo uma primitiva de \operatorname{cosec}^{2} x é -\cot x. Assim,
v = \int \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = -\cot x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = u v - \int v\, du.
Substituindo u, v e du:
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = (4x)(- \cot x) - \int (-\cot x)\,(4\,dx).
Simplificando sinais e constantes:
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = -4x\cot x + 4\int \cot x \, dx.

Passo 5

Calcular \int \cot x \, dx. Lembrando que \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}. Fazemos a substituição t=\sin x, então dt=\cos x\,dx. Assim
\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \frac{dt}{t} = \ln\!\bigl|t\bigr| + C = \ln\!\bigl|\sin x\bigr| + C.
Explico rapidamente: \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C, por isso aparece o valor absoluto.

Passo 6

Substituir o resultado de \int \cot x\,dx na expressão do Passo 4:
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = -4x\cot x + 4\ln\!\bigl|\sin x\bigr| + C.
Pode-se também fatorar 4 se quiser:
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = 4\bigl(-x\cot x + \ln\!\bigl|\sin x\bigr|\bigr) + C.

Resposta

-4x\cot x + 4\ln\!\bigl|\sin x\bigr| + C

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