Resolva as integrais indefinidas: \int 4 x \cdot \operatorname{cosec}^{2} x d x
Dica: fazer u=x^{2} e d v=x \cdot \operatorname{sen} x^{2} \cdot d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx.
Informações dadas relevantes:
A integranda é 4x multiplicado por \operatorname{cosec}^{2} x (isto é, (\operatorname{cosec} x)^2).
Queremos uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração C.
Passo 2
Escolha do método: usar integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que escolhi essa estratégia.
Fórmula de integração por partes:
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
Aqui u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u de modo que sua diferenciação fique mais simples e dv de modo que possamos integrar para obter v.
Escolho
u = 4x,\qquad dv = \operatorname{cosec}^{2} x \, dx.
Motivo: 4x é uma função polinomial simples cuja derivada é mais simples, e sabemos uma primitiva direta de \operatorname{cosec}^{2} x.
Passo 3
Calcular du e v.
Diferenciando u:
du = d(4x) = 4\, dx.
Encontrar v tal que dv = \operatorname{cosec}^{2} x \, dx. Lembrando que a derivada de \cot x é -\operatorname{cosec}^{2} x, logo uma primitiva de \operatorname{cosec}^{2} x é -\cot x. Assim,
v = \int \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = -\cot x.
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int 4x\cdot \operatorname{cosec}^{2} x \, dx = u v - \int v\, du.