Considere a curva planar
de equação
.
Calcule
, onde
é a região limitada por tal curva.
Calcule
Passo 1
A gente tem uma curva circular centrada em (0,1) de raio 1, então D é o disco x²+(y−1)²≤1. O que pedem é a integral ∬_D y√(x²+y²)dA. Vamos usar coordenadas polares (x=r cosθ, y=r sinθ) pra simplificar o √(x²+y²) e o elemento dA.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma de D em polares. A equação x²+(y−1)²=1 vira r²−2r sinθ+1=1, ou r(r−2 sinθ)=0. Isso mostra que, pra r≥0, temos r≤2 sinθ. Além disso só faz sentido quando sinθ≥0, ou seja θ∈[0,π]. Logo D em (r,θ) é θ de 0 a π e r de 0 a 2 sinθ.
Passo 3
Agora convertemos o integrando e dA: y=r sinθ, √(x²+y²)=r e dA=r dr dθ. Então y√(x²+y²)dA = (r sinθ)·r·(r dr dθ) = r³ sinθ dr dθ.
Passo 4
Fazendo a integral em r primeiro: ∫₀^{2 sinθ} r³ dr = [(2 sinθ)⁴]/4 = 4 sin⁴θ. Assim a integral total é ∫₀^π 4 sin⁴θ·sinθ dθ = 4 ∫₀^π sin⁵θ dθ.
Passo 5
Pra calcular ∫₀^π sin⁵θ dθ, usamos simetria: ∫₀^π sin⁵θ dθ = 2∫₀^{π/2} sin⁵θ dθ. E ∫₀^{π/2} sin⁵θ dθ = 8/15 (via substituição u=cosθ). Então ∫₀^π sin⁵θ dθ = 16/15.
Passo 6
Concluindo, a integral vale 4·(16/15) = 64/15.
Resposta
64/15