Scja
.
Determine os pontos criticos da função
e classifique-os.
Determine os pontos criticos da função
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar os pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los usando derivadas parciais e o teste do Hessiano, ou seja, vamos precisar calcular as derivadas primeiras para achar os candidatos e depois usar o determinante do Hessiano para ver se são mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda: $ -4y +4y^3=0$ que dá
, logo
e então
. Assim os pontos críticos são
.
Passo 4
Agora montamos o Hessiano e avaliamos em cada ponto. O Hessiano é
O determinante é
Passo 5
Avaliamos em cada ponto:
- Em
: → ponto de sela. - Em
e : e → mínimos locais.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0) (ponto de sela), (1,1) (mínimo local) e (−1,−1) (mínimo local).