Scja f(x, y)=2 x^2-4 x y+y^4+2.
Determine os pontos criticos da função f e classifique-os.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar os pontos críticos de uma função de duas variáveis e classificá-los usando derivadas parciais e o teste do Hessiano, ou seja, vamos precisar calcular as derivadas primeiras para achar os candidatos e depois usar o determinante do Hessiano para ver se são mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 4x - 4y,
partial fpartial y = -4x + 4y^3

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
4x - 4y = 0,
-4x + 4y^3 = 0
Da primeira equação vem x = y. Substituindo na segunda: $ -4y +4y^3=0$ que dá -4y +4y^3=0, logo y(y^2-1)=0 e então y=0,pm1. Assim os pontos críticos são x=y.

Passo 4

Agora montamos o Hessiano e avaliamos em cada ponto. O Hessiano é
H = fxx & fxy fyx & fyy = 4 & -4 -4 & 12y^2
O determinante é D = 4cdot(12y^2) - (-4)^2 = 48y^2 -16

Passo 5

Avaliamos em cada ponto:
  • Em (0,0): D = -16<0 → ponto de sela.
  • Em (1,1) e (-1,-1): D = 48-16=32>0 e fxx=4>0 → mínimos locais.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) (ponto de sela), (1,1) (mínimo local) e (−1,−1) (mínimo local).

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