Seja .
Usando o teorema, verifique se é diferenciável em .
Passo 1
O enunciado pede para checar se a função
é diferenciável em todos os pontos de R^2 exceto a origem. O conteúdo envolvido é o teorema de diferenciabilidade do quociente de funções e vamos precisar verificar que o denominador nunca se anula fora de (0,0).
Passo 2
O teorema que usamos diz: se g e h são diferenciáveis em um ponto (a,b) e h(a,b)neq0, então
gh
é diferenciável em (a,b). No nosso caso definimos
g(x,y)=3, h(x,y)=2x^2+y^2
Aqui g é constante (logo diferenciável) e h é polinomial (também diferenciável em toda parte).
Passo 3
Para qualquer ponto (a,b)neq(0,0) temos
h(a,b)=2a^2+b^2>0,
o que garante h(a,b)neq0. Portanto, pelo teorema do quociente,
f(x,y)=g(x,y)h(x,y) \né diferenciável em qualquer (a,b) diferente da origem.
Passo 4
Logo, concluímos que f é diferenciável em todo o conjunto