Scja f(x, y)=2 x^2-4 x y+y^4+2.
Verifique se f é diferenciável em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=2x^2-4xy+y^4+2
é diferenciável em R^2. Isso envolve calcular as derivadas parciais e checar sua continuidade, pois estamos em um contexto de funções de duas variáveis e usaremos o critério de existência e continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Primeiro a parcial em relação a x:
Agora a parcial em relação a partial fpartial x(x,y)=partialpartial xl(2x^2-4xy+y^4+2)=4x-4y :

Passo 3

As derivadas parciais 4x-4y e -4x+4y^3 são polinômios em x,y. Qualquer polinômio é contínuo em todo R^2. Portanto, as derivadas parciais existem em todo lugar e são contínuas.

Passo 4

Pelo teorema que diz que se as derivadas parciais de uma função existirem num ponto (ou região) e forem contínuas nessa região, então a função é diferenciável ali, concluímos que f é diferenciável em todo o plano R^2.

Resposta

A função f é diferenciável em R^2.

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