Considere a curva polar
(a) Calcule a inclinação da reta tangente ao ponto em
.
(b) Identifique a cônica dada pela equação polar e sua diretriz.
(b) Identifique a cônica dada pela equação polar e sua diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva em coordenadas polares dada por $ r = \frac{2}{4 - 3 \cos \theta} $. O exercício tem duas partes:
a) Calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
b) Identificar qual cônica essa equação representa e encontrar a diretriz dela.
Para resolver isso, vamos precisar entender de coordenadas polares, derivadas para encontrar a inclinação da tangente, e um pouco sobre cônicas e suas propriedades.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a inclinação da reta tangente quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
Primeiro, precisamos da fórmula para a inclinação da reta tangente em coordenadas polares. A inclinação $ m $ é dada por:
Então, nosso primeiro passo é encontrar $ \frac{dr}{d\theta} $.
Dados:
Vamos derivar $ r $ em relação a $ \theta $:
Agora, substituímos $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
Então,
Agora, substituímos esses valores na fórmula da inclinação $ m $:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): identificar qual cônica a equação representa e encontrar sua diretriz.
A equação dada é:
Essa forma se assemelha à equação geral de uma cônica em coordenadas polares:
Onde:
- $ e $ é a excentricidade,
- $ d $ é a distância da diretriz ao polo.
Vamos reescrever a equação dada para se parecer mais com a forma geral:
Comparando com $ r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta} $, temos:
Vamos encontrar $ d $:
Como $ e = \frac{3}{4} < 1 $, a cônica é uma elipse.
A diretriz está localizada a uma distância $ d = \frac{2}{3} $ do polo na direção oposta ao foco.
Resposta
a) A inclinação da reta tangente em $ \theta = \frac{\pi}{2} $ é $ m = -\frac{3}{4} $.
b) A cônica é uma elipse com diretriz a uma distância de $ \frac{2}{3} $ unidades do polo.