Considere a curva polar
r=24-3 cos theta
(a) Calcule a inclinação da reta tangente ao ponto em theta=pi2.
(b) Identifique a cônica dada pela equação polar e sua diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva em coordenadas polares dada por $ r = \frac{2}{4 - 3 \cos \theta} $. O exercício tem duas partes:
a) Calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
b) Identificar qual cônica essa equação representa e encontrar a diretriz dela.
Para resolver isso, vamos precisar entender de coordenadas polares, derivadas para encontrar a inclinação da tangente, e um pouco sobre cônicas e suas propriedades.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a inclinação da reta tangente quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
Primeiro, precisamos da fórmula para a inclinação da reta tangente em coordenadas polares. A inclinação $ m $ é dada por:
theta = pi2
Então, nosso primeiro passo é encontrar $ \frac{dr}{d\theta} $.
Dados:
m
Vamos derivar $ r $ em relação a $ \theta $:
m = drdtheta sin theta + r cos thetadrdtheta cos theta - r sin theta
Agora, substituímos $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
drdtheta
Então,
r = 24 - 3 cos theta
r
Agora, substituímos esses valores na fórmula da inclinação $ m $:
theta

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): identificar qual cônica a equação representa e encontrar sua diretriz.
A equação dada é:
r = 24 - 3 cos theta
Essa forma se assemelha à equação geral de uma cônica em coordenadas polares:
r = ed1 + e cos theta
Onde:
  • $ e $ é a excentricidade,
  • $ d $ é a distância da diretriz ao polo.
Vamos reescrever a equação dada para se parecer mais com a forma geral:
e
Comparando com $ r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta} $, temos:
d
Vamos encontrar $ d $:
r = 24 - 3 cos theta = 24 (1 - 34 cos theta ) = 241 - 34 cos theta = 121 - 34 cos theta = 121 + (-34) cos theta
Como $ e = \frac{3}{4} < 1 $, a cônica é uma elipse.
A diretriz está localizada a uma distância $ d = \frac{2}{3} $ do polo na direção oposta ao foco.

Resposta

a) A inclinação da reta tangente em $ \theta = \frac{\pi}{2} $ é $ m = -\frac{3}{4} $.
b) A cônica é uma elipse com diretriz a uma distância de $ \frac{2}{3} $ unidades do polo.

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