Utilize resíduos para calcular
(viii)
, onde
.
(viii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
usando o método dos resíduos. Isso significa que vamos utilizar técnicas de análise complexa para encontrar a solução. Para isso, vamos precisar entender sobre integrais no plano complexo e como aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral dada é definida de
a
. Para facilitar o uso do método dos resíduos, é comum estender a integral para o eixo real completo, ou seja, de
a
. Assim, nossa integral original será a metade dessa nova integral.
Passo 3
Vamos definir a função complexa que vamos integrar:
Aqui,
é uma variável complexa. Nosso objetivo é calcular a integral de
ao longo do eixo real.
Passo 4
Para aplicar o teorema dos resíduos, precisamos identificar os polos da função
. Os polos são os valores de
que tornam o denominador zero:
Então, temos dois polos de ordem 3 em
e
.
Passo 5
Escolheremos um contorno no plano complexo que feche o caminho ao longo do eixo real e uma semicircunferência no semiplano superior. Isso porque queremos considerar apenas os polos no semiplano superior, que neste caso é
.
Passo 6
Segundo o teorema dos resíduos, a integral ao longo do contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Como temos apenas um polo no semiplano superior (
), precisamos calcular o resíduo de
nesse ponto.
Passo 7
Para um polo de ordem 3, o resíduo é calculado usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 8
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, precisamos derivar essa expressão duas vezes em relação a
e então avaliar o limite quando
.
Passo 9
Após realizar as derivadas e simplificar, obtemos:
Passo 10
Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do contorno fechado é:
Como a parte da semicircunferência tende a zero quando o raio cresce ao infinito, a integral ao longo do eixo real é igual a essa expressão. Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
.