Utilize resíduos para calcular
(viii) integral0^infty x^2(x^2+a^2)^3 d x, onde a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integral0^infty x^2(x^2+a^2)^3 dx usando o método dos resíduos. Isso significa que vamos utilizar técnicas de análise complexa para encontrar a solução. Para isso, vamos precisar entender sobre integrais no plano complexo e como aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral dada é definida de 0 a infty. Para facilitar o uso do método dos resíduos, é comum estender a integral para o eixo real completo, ou seja, de -infty a infty. Assim, nossa integral original será a metade dessa nova integral.

Passo 3

Vamos definir a função complexa que vamos integrar:
f(z) = z^2(z^2 + a^2)^3
Aqui, z é uma variável complexa. Nosso objetivo é calcular a integral de f(z) ao longo do eixo real.

Passo 4

Para aplicar o teorema dos resíduos, precisamos identificar os polos da função f(z). Os polos são os valores de z que tornam o denominador zero:
z^2 + a^2 = 0 Rightarrow z = pm ia
Então, temos dois polos de ordem 3 em z = ia e z = -ia.

Passo 5

Escolheremos um contorno no plano complexo que feche o caminho ao longo do eixo real e uma semicircunferência no semiplano superior. Isso porque queremos considerar apenas os polos no semiplano superior, que neste caso é z = ia.

Passo 6

Segundo o teorema dos resíduos, a integral ao longo do contorno fechado é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Como temos apenas um polo no semiplano superior ( z = ia), precisamos calcular o resíduo de f(z) nesse ponto.

Passo 7

Para um polo de ordem 3, o resíduo é calculado usando a seguinte fórmula:
Res(f, ia) = 12! limz to ia d^2dz^2 [(z - ia)^3 f(z)]
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 8

Primeiro, multiplicamos f(z) por (z - ia)^3:
(z - ia)^3 f(z) = z^2(z + ia)^3
Agora, precisamos derivar essa expressão duas vezes em relação a z e então avaliar o limite quando z to ia.

Passo 9

Após realizar as derivadas e simplificar, obtemos:
Res(f, ia) = 116 a^5 ( -2 a^2 + 6 a^2 ) = 116 a^5 times 4 a^2 = 14 a^3

Passo 10

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do contorno fechado é:
2pi i times 14 a^3 = pi i2 a^3
Como a parte da semicircunferência tende a zero quando o raio cresce ao infinito, a integral ao longo do eixo real é igual a essa expressão. Portanto:
integral-infty^infty x^2(x^2 + a^2)^3 dx = pi2 a^3

Resposta

A integral integral0^infty x^2(x^2+a^2)^3 dx é igual a pi4 a^3.

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