Determine a ordem do polo de f em a e calcule res (f, a) onde
(viii) f(z)=e^2 zz^4-z^5, a=1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que descobrir qual é a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{e^{2 z}}{z{4}-z{5}} $ no ponto $ a = 1 $ e calcular o resíduo dessa função nesse ponto. Isso cai na matéria de análise complexa, mais especificamente no estudo de polos e resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polo e sua ordem. Um polo de uma função é um tipo de singularidade onde a função tende ao infinito. A ordem do polo indica quantas vezes o denominador da função zera nesse ponto. Para descobrir isso, precisamos fatorar o denominador da função $ f(z) $.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador:
z^4 - z^5 = z^4(1 - z)
Agora, nossa função fica:
f(z) = e^2 zz^4(1 - z)
Observando o denominador, vemos que ele se anula quando $ z = 0 $ e $ z = 1 $. Mas nosso foco é em $ a = 1 $.

Passo 4

No ponto $ z = 1 $, o fator que zera é $ (1 - z) $, que é de primeira ordem, ou seja, ocorre uma única vez. Isso significa que o polo em $ z = 1 $ é de ordem 1, também conhecido como polo simples.

Passo 5

Agora, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 1 $. Para um polo simples, o resíduo pode ser calculado utilizando a fórmula:
f(z)
Substituindo $ f(z) $:
z = 1

Passo 6

Agora, basta calcular o limite:
Res(f, 1) = e^2 cdot 11^4 = e^21 = e^2

Resposta

A ordem do polo em $ a = 1 $ é 1, e $ Res(f, 1) = e^{2} $.

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