Determine a ordem do polo de
em
e calcule res
onde
(viii)
,
.
(viii)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que descobrir qual é a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{e^{2 z}}{z{4}-z{5}} $ no ponto $ a = 1 $ e calcular o resíduo dessa função nesse ponto. Isso cai na matéria de análise complexa, mais especificamente no estudo de polos e resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polo e sua ordem. Um polo de uma função é um tipo de singularidade onde a função tende ao infinito. A ordem do polo indica quantas vezes o denominador da função zera nesse ponto. Para descobrir isso, precisamos fatorar o denominador da função $ f(z) $.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador:
Agora, nossa função fica:
Observando o denominador, vemos que ele se anula quando $ z = 0 $ e $ z = 1 $. Mas nosso foco é em $ a = 1 $.
Passo 4
No ponto $ z = 1 $, o fator que zera é $ (1 - z) $, que é de primeira ordem, ou seja, ocorre uma única vez. Isso significa que o polo em $ z = 1 $ é de ordem 1, também conhecido como polo simples.
Passo 5
Agora, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 1 $. Para um polo simples, o resíduo pode ser calculado utilizando a fórmula:
Substituindo $ f(z) $:
Passo 6
Agora, basta calcular o limite:
Resposta
A ordem do polo em $ a = 1 $ é 1, e $ Res(f, 1) = e^{2} $.