Determine a ordem do polo de
em
e calcule res
onde
(vii)
;
(vii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{1 - e{3z}}{z{4}} $ em $ a = 0 $ e calcular o resíduo dessa função nesse ponto. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre polos e resíduos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um polo, sua ordem e como calcular o resíduo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polo. Em análise complexa, um polo de uma função é um ponto onde a função “explode”, ou seja, tende ao infinito. A ordem do polo indica quão “forte” é esse comportamento. Por exemplo, um polo de ordem 1 é como uma “explosão” simples, enquanto ordens maiores indicam explosões mais intensas.
Passo 3
Para encontrar a ordem do polo em $ a = 0 $, vamos analisar a função $ f(z) = \frac{1 - e{3z}}{z{4}} $. O denominador $ z^{4} $ sugere que, se o numerador não anular totalmente, podemos ter um polo de ordem 4. Mas precisamos verificar como o numerador se comporta em $ z = 0 $.
Passo 4
Vamos expandir $ e^{3z} $ em série de Taylor ao redor de $ z = 0 $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos $ 1 - e^{3z} $:
Perceba que o termo constante desaparece, e o primeiro termo é linear em $ z $.
Passo 6
Substituímos essa expansão na função $ f(z) $:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Observando a expressão final, vemos que os termos mais “explosivos” são $ -\frac{3}{z^3} $ e $ -\frac{9}{2z^2} $, mas o termo relevante para determinar a ordem do polo é o que tem a menor potência de $ z $ no denominador, ou seja, $ -\frac{3}{z^3} $. Isso indica que o polo em $ a = 0 $ é de ordem 3.
Passo 8
Agora, para calcular o resíduo $ res(f, 0) $, precisamos identificar o coeficiente de $ \frac{1}{z} $ na expansão de Laurent de $ f(z) $. Observando a expressão de $ f(z) $:
O coeficiente de $ \frac{1}{z} $ é $ -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} $. Portanto, o resíduo é $ -\frac{9}{2} $.
Resposta
A ordem do polo em $ a = 0 $ é 3 e o resíduo $ res(f, 0) $ é $ -\frac{9}{2} $.