Considere a curva polar
Calcule os pontos onde a curva possui reta tangente horizontal e vertical.
Passo 1
Então, a gente tem uma curva no formato polar dada por $ r = e^{\theta} $ para $ 0 < \theta < 2\pi $. O objetivo aqui é descobrir onde essa curva tem tangentes horizontais e verticais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a derivada de uma curva polar e entender quando a tangente fica horizontal ou vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por $ r $ e $ \theta $, mas para calcular as tangentes, é mais fácil converter isso para coordenadas cartesianas. As conversões são:
Como temos $ r = e^{\theta} $, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $. Usamos a regra do produto aqui:
Passo 4
A inclinação da tangente é dada por $ \frac{dy}{dx} $, que é:
Queremos saber quando a tangente é horizontal ou vertical.
Passo 5
Para a tangente ser horizontal, a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ precisa ser 0. Isso acontece quando o numerador é zero:
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\theta) $ (quando $ \cos(\theta) \neq 0 $):
Para a tangente ser vertical, a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ precisa ser indefinida, ou seja, o denominador é zero:
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\theta) $ (quando $ \cos(\theta) \neq 0 $):
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de $ \theta $.
Para $ \theta = \frac{3\pi}{4} $ e $ \theta = \frac{7\pi}{4} $ (tangentes horizontais):
Os pontos são:
Para $ \theta = \frac{\pi}{4} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{4} $ (tangentes verticais):
Os pontos são:
Resposta
Os pontos onde a curva $ r = e^{\theta} $ tem tangente horizontal são $ \left(e^{\frac{3\pi}{4}}, \frac{3\pi}{4}\right) $ e $ \left(e^{\frac{7\pi}{4}}, \frac{7\pi}{4}\right) $. As tangentes verticais ocorrem nos pontos $ \left(e^{\frac{\pi}{4}}, \frac{\pi}{4}\right) $ e $ \left(e^{\frac{5\pi}{4}}, \frac{5\pi}{4}\right) $.