Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se for convergente, também calculamos sua soma. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Divergência das séries.
Passo 2
O primeiro passo para verificar a convergência de uma série é analisar o limite do termo geral quando $ n $ tende ao infinito. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Sabemos que
tende a 0 quando $ n $ vai para infinito, porque
é um número entre 0 e 1, e sua potência nesse intervalo tende a zero. Então, substituindo na expressão do limite:
Passo 4
Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite foi 1, que não é zero. Portanto, podemos concluir que a série é divergente.
Resposta
A série é divergente.