Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
. O conteúdo envolvido é o Teste da Integral, que diz que se
for contínua, positiva e decrescente para
, então a convergência de
implica a convergência da série, e vice-versa.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que
e que, derivando, vemos que
, então
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria associada:
Passo 4
Começamos com
Passo 5
Passo 6
Fazemos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira
Passo 7
Passo 8
Agora integramos:
Passo 9
Passo 10
Avaliando de
até
dá
Passo 11
Passo 12
que é finito. Portanto a integral converge.
Passo 13
Pelo Teste da Integral, como
converge, a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Integral.