Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n(ln n)^3

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série . O conteúdo envolvido é o Teste da Integral, que diz que se for contínua, positiva e decrescente para , então a convergência de implica a convergência da série, e vice-versa.

Passo 2

Definimos a função para . Observamos que e que, derivando, vemos que , então é decrescente em .

Passo 3

Calculamos a integral imprópria associada:

Passo 4

Começamos com

Passo 5

integral2^infty 1x(ln x)^3,dx

Passo 6

Fazemos a substituição , logo . Quando , ; quando , . A integral vira

Passo 7

integralln2^infty 1t^3,dt

Passo 8

Agora integramos:

Passo 9

integral 1t^3,dt=integral t^-3,dt= -12t^-2+C=-12t^2+C

Passo 10

Avaliando de até

Passo 11

limTtoinftyl(-12T^2r)-l(-12(ln2)^2r)=0+12(ln2)^2,

Passo 12

que é finito. Portanto a integral converge.

Passo 13

Pelo Teste da Integral, como converge, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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