Considere a curva r(t)=\left(t, t^{2}\right)
a) Calcule a curvatura \kappa(\mathrm{t}).
b) Determine o valor da curvatura em \mathrm{t}=0.
c) Em qual ponto a curva é “mais curva”?

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \;r(t)=\big(t,t^{2}\big)\; e pede três coisas:
  • (a) Calcular a curvatura \kappa(t).
  • (b) Determinar o valor de \kappa em t=0.
  • (c) Dizer em qual ponto da curva ela é “mais curva” (isto é, onde \kappa atinge o máximo).
Informações relevantes fornecidas (que usaremos):
  • As componentes da curva são x(t)=t e y(t)=t^{2}.

Passo 2

O que é curvatura e qual fórmula usar (explicação didática):
  • A curvatura mede quanto a direção da tangente muda ao longo da curva; a forma teórica é
\kappa=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|,
onde T é o vetor unitário tangente e s é o comprimento de arco. Isso é conceitual; na prática, para uma curva plana parametrizada por \;x(t),y(t)\; existe uma fórmula direta conveniente:
\kappa(t)=\frac{\big|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\big|}{\big(x'(t)^2+y'(t)^2\big)^{3/2}}.
Explicando cada pedaço dessa fórmula:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras (componentes da velocidade \mathbf{v}(t)).
  • x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (componentes da aceleração \mathbf{a}(t)).
  • O numerador x'y''-y'x'' é o determinante das matrizes formadas por \mathbf{v} e \mathbf{a}; geometricamente é a “parte transversal” que mede quanto a aceleração gira a velocidade (em 2D isso equivale ao módulo do produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{a}).
  • O denominador (x'^2+y'^2)^{3/2} vem da relação entre derivadas em t e derivadas em comprimento de arco s (aparece como |\mathbf{v}|^{3} em manipulações algébricas).
    Dica prática: use essa fórmula direta — é a que se aplica quase sempre em provas para curvas planas.

Passo 3

Calcule as primeiras e segundas derivadas das componentes x(t) e y(t):
x(t)=t \quad\Rightarrow\quad x'(t)=1,\qquad x''(t)=0.
y(t)=t^{2} \quad\Rightarrow\quad y'(t)=2t,\qquad y''(t)=2.

Passo 4

Substitua essas derivadas na fórmula da curvatura:
  • Numerador:
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)=1\cdot 2-(2t)\cdot 0=2.
Tome o valor absoluto: |2|=2.
  • Denominador:
x'(t)^2+y'(t)^2=1^{2}+(2t)^{2}=1+4t^{2},
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\big(x'(t)^2+y'(t)^2\big)^{3/2}=(1+4t^{2})^{3/2}.
Portanto, a curvatura é
\kappa(t)=\frac{2}{(1+4t^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Calcule \kappa em t=0 substituindo na expressão encontrada:
\kappa(0)=\frac{2}{(1+4\cdot 0^{2})^{3/2}}=\frac{2}{1^{3/2}}=2.

Passo 6

Determinar onde a curva é “mais curva” (onde \kappa é máxima).
  • Observe a expressão \kappa(t)=2(1+4t^{2})^{-3/2}. O fator 1+4t^{2} é mínimo quando t=0 (pois 4t^{2}\ge 0), portanto o denominador (1+4t^{2})^{3/2} é mínimo em t=0. Como \kappa é 2 dividido por esse denominador, \kappa atinge seu máximo quando t=0.
  • Para confirmar com cálculo, derive \kappa(t):
\kappa'(t)=-24t\,(1+4t^{2})^{-5/2},
que se anula somente em t=0; o sinal de \kappa' mostra que para t>0 a curvatura decresce e para t<0 aumenta ao se aproximar de zero, logo t=0 é um máximo global.

Passo 7

A que ponto da curva corresponde t=0?
r(0)=\big(0,0^{2}\big)=(0,0).
Então a curva é “mais curva” no vértice da parábola, o ponto (0,0).

Resposta

(a) \displaystyle \kappa(t)=\frac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}
(b) \displaystyle \kappa(0)=2
(c) A curvatura é máxima em t=0, isto é, no ponto (0,0).

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