Considere a curva
.
a) Encontre o vetor tangente unitário.
b) Calcule o comprimento da curva.
c) Determine a curvatura.
a) Encontre o vetor tangente unitário.
b) Calcule o comprimento da curva.
c) Determine a curvatura.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede três coisas:
- (a) o vetor tangente unitário à curva (ou seja,
); - (b) o comprimento da curva entre
e ; - (c) a curvatura
da curva para .
Informações relevantes dadas explicitamente:
- A função posição
com ambas as componentes dependentes de e das funções trigonométricas. - O intervalo de parâmetro é
.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a velocidade
. Para isso usamos a regra do produto: se
e
, então
. Aplicando isso às duas componentes:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Portanto
Passo 3
Agora calculamos a velocidade escalar (norma de
), também chamada de rapidez:
Expandindo os quadrados para simplificar:
Somando as duas expressões obtém-se
. Assim
Comentário didático curto: é comum que combinações do tipo
simplifiquem por causa de
e do cancelamento dos termos mistos.
Passo 4
Definição usada para o vetor tangente unitário:
. Substituindo
e
:
Observação prática: o fator
cancelou — isso acontece porque multiplicar a posição por um fator escalar
aparece também na derivada, de modo que a direção do vetor velocidade fica independente desse fator escalar.
Passo 5
Agora calculamos o comprimento da curva (comprimento de arco) no intervalo
. A fórmula do comprimento de uma curva paramétrica é
No nosso caso
,
e
. Então
Como
, obtemos
Passo 6
Para a curvatura precisamos da segunda derivada
. Diferenciando
novamente (usando produto e derivadas de seno/cosseno):
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Assim
Passo 7
Fórmula prática para curvatura em curvas planas parametricamente por
: uma expressão conveniente é
Aqui
é o determinante da matriz
cujas colunas (ou linhas, dependendo da convenção) são as componentes de
e
; numericamente é igual à magnitude do produto vetorial
quando se identifica o plano com o plano
no espaço.
Passo 8
Vamos calcular o determinante
. Escrevendo componentes:
O determinante é
Fatorando
:
O conteúdo do parêntese simplifica:
Logo
Passo 9
Agora aplicamos a fórmula da curvatura:
Calculemos o denominador:
Portanto
Simplificando o fator numérico:
. Assim
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)