Considere a curva
r(t)=\left(e^{\wedge} t \cdot \cos t, e^{\wedge} t \cdot \sin t\right), t \in[0,1].
a) Encontre o vetor tangente unitário.
b) Calcule o comprimento da curva.
c) Determine a curvatura.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr),\qquad t\in[0,1],
e pede três coisas:
  • (a) o vetor tangente unitário à curva (ou seja, \mathbf{T}(t));
  • (b) o comprimento da curva entre t=0 e t=1;
  • (c) a curvatura \kappa(t) da curva para t\in[0,1].
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • A função posição r(t) com ambas as componentes dependentes de e^{t} e das funções trigonométricas.
  • O intervalo de parâmetro é [0,1].

Passo 2

Vamos primeiro calcular a velocidade r'(t). Para isso usamos a regra do produto: se u(t)=e^{t} e v(t)=\cos t, então (uv)'=u'v+uv'. Aplicando isso às duas componentes:
Para a primeira componente:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr)=e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
Para a segunda componente:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t).
Portanto
r'(t)=e^{t}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a velocidade escalar (norma de r'(t)), também chamada de rapidez:
\lVert r'(t)\rVert = e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}.
Expandindo os quadrados para simplificar:
(\cos t-\sin t)^{2}=\cos^{2}t-2\sin t\cos t+\sin^{2}t=1-\sin(2t),
(\sin t+\cos t)^{2}=\sin^{2}t+2\sin t\cos t+\cos^{2}t=1+\sin(2t).
Somando as duas expressões obtém-se 1-\sin(2t)+1+\sin(2t)=2. Assim
\lVert r'(t)\rVert = e^{t}\sqrt{2}.
Comentário didático curto: é comum que combinações do tipo (\cos\pm\sin)^{2} simplifiquem por causa de \cos^{2}+\sin^{2}=1 e do cancelamento dos termos mistos.

Passo 4

Definição usada para o vetor tangente unitário: \mathbf{T}(t)=\dfrac{r'(t)}{\lVert r'(t)\rVert}. Substituindo r'(t) e \lVert r'(t)\rVert:
\mathbf{T}(t)=\frac{e^{t}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr)}{e^{t}\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr).
Observação prática: o fator e^{t} cancelou — isso acontece porque multiplicar a posição por um fator escalar e^{t} aparece também na derivada, de modo que a direção do vetor velocidade fica independente desse fator escalar.

Passo 5

Agora calculamos o comprimento da curva (comprimento de arco) no intervalo [0,1]. A fórmula do comprimento de uma curva paramétrica é
L=\int_{a}^{b}\lVert r'(t)\rVert \,dt.
No nosso caso a=0, b=1 e \lVert r'(t)\rVert=e^{t}\sqrt{2}. Então
L=\int_{0}^{1} e^{t}\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{1} e^{t}\,dt.
Como \int e^{t}\,dt = e^{t}, obtemos
L=\sqrt{2}\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1}=\sqrt{2}\,(e^{1}-e^{0})=\sqrt{2}\,(e-1).

Passo 6

Para a curvatura precisamos da segunda derivada r''(t). Diferenciando r'(t)=e^{t}(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t) novamente (usando produto e derivadas de seno/cosseno):
Para a primeira componente:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}(\cos t-\sin t)\bigr)=e^{t}(\cos t-\sin t)+e^{t}(-\sin t-\cos t) =e^{t}\bigl((\cos t-\sin t)+(-\sin t-\cos t)\bigr)=e^{t}(-2\sin t).
Para a segunda componente:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}(\sin t+\cos t)\bigr)=e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t) =e^{t}\bigl((\sin t+\cos t)+(\cos t-\sin t)\bigr)=e^{t}(2\cos t).
Assim
r''(t)=2e^{t}\bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr).

Passo 7

Fórmula prática para curvatura em curvas planas parametricamente por t: uma expressão conveniente é
\kappa(t)=\frac{|\det\bigl(r'(t),\,r''(t)\bigr)|}{\lVert r'(t)\rVert^{3}}.
Aqui \det(r',r'') é o determinante da matriz 2\times2 cujas colunas (ou linhas, dependendo da convenção) são as componentes de r' e r''; numericamente é igual à magnitude do produto vetorial |r'\times r''| quando se identifica o plano com o plano z=0 no espaço.

Passo 8

Vamos calcular o determinante \det\bigl(r'(t),r''(t)\bigr). Escrevendo componentes:
r'(t)=e^{t}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr),
r''(t)=2e^{t}\bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr).
O determinante é
\det\bigl(r',r''\bigr)=\bigl(e^{t}(\cos t-\sin t)\bigr)\cdot\bigl(2e^{t}\cos t\bigr) -\bigl(e^{t}(\sin t+\cos t)\bigr)\cdot\bigl(2e^{t}(-\sin t)\bigr).
Fatorando 2e^{2t}:
\det\bigl(r',r''\bigr)=2e^{2t}\Bigl((\cos t-\sin t)\cos t + (\sin t+\cos t)\sin t\Bigr).
O conteúdo do parêntese simplifica:
(\cos t-\sin t)\cos t + (\sin t+\cos t)\sin t = \cos^{2}t -\sin t\cos t +\sin^{2}t +\sin t\cos t = \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Logo
\det\bigl(r',r''\bigr)=2e^{2t}.

Passo 9

Agora aplicamos a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{|\det(r',r'')|}{\lVert r'(t)\rVert^{3}} =\frac{2e^{2t}}{\bigl(e^{t}\sqrt{2}\bigr)^{3}}.
Calculemos o denominador:
\bigl(e^{t}\sqrt{2}\bigr)^{3}=e^{3t}( \sqrt{2})^{3}=e^{3t}2^{3/2}.
Portanto
\kappa(t)=\frac{2e^{2t}}{e^{3t}2^{3/2}}=\frac{2}{2^{3/2}}e^{-t}.
Simplificando o fator numérico: 2/2^{3/2}=2^{1-3/2}=2^{-1/2}=1/\sqrt{2}. Assim
\kappa(t)=\frac{e^{-t}}{\sqrt{2}}.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr)\n
b) \displaystyle L=\sqrt{2}\,(e-1)\n
c) \displaystyle \kappa(t)=\frac{e^{-t}}{\sqrt{2}}

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