Dada a curva
. Determine os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para determinar os vetores
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A posição é
. - As quantidades pedidas são os vetores do triêdre de Frenet: o vetor tangente unitário
, o vetor normal principal unitário e o vetor binormal .
Pergunta final: calcular explicitamente
,
e
.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a derivada
componente a componente. Derivar cada componente de
:
As derivadas são
,
e
. Logo,
Explicação curta: a derivada de um vetor é feita derivando cada componente; nada misterioso aqui.
Passo 3
Agora calculamos a norma de
, que é necessária para obter o vetor tangente unitário. A norma eu calculo com a fórmula usual em
:
Usando
obtemos
Pequena observação didática: sempre que aparecer
vale
, o que simplifica muito normas envolvendo funções trigonométricas.
Passo 4
Definição do vetor tangente unitário:
.
Substituindo
e
encontrados:
Interpretação:
aponta na direção instantânea da curva e tem comprimento
.
Passo 5
Para obter
precisamos de
. Derivamos cada componente de
. Como
é constante, podemos fatorá-la:
Explicação: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 6
Calcular a norma de
:
Novamente usei
.
Passo 7
Definição do vetor normal principal unitário:
.
Substituindo:
Verificação rápida: este vetor tem norma
e é ortogonal a
(produto escalar nulo), como deve ser para o vetor normal.
Passo 8
Definição do binormal:
(produto vetorial entre
e
). Vou calcular componente a componente usando a fórmula do determinante:
Escrever
e
explicitamente:
Calculemos as componentes de
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 9
Breve verificação (útil na prova): confirmar que
,
e
são mutuamente ortonormais.
-
por construção. -
por construção. -
. - Produtos escalares
, e são zero (pode-se checar pelo cálculo dos componentes).
Isso confirma que os vetores obtidos formam um sistema de referência ortonormal adequado ao longo da curva.