Dada a curva r(t)=(t, \cos (t), \sin (t))). Determine os vetores T(t), N(t) e B(t).

Passo 1

O enunciado dá a curva r(t)=(t,\cos(t),\sin(t)) e pede para determinar os vetores T(t), N(t) e B(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição é r(t)=(t,\cos(t),\sin(t)).
  • As quantidades pedidas são os vetores do triêdre de Frenet: o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal principal unitário N(t) e o vetor binormal B(t).
Pergunta final: calcular explicitamente T(t), N(t) e B(t).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a derivada r'(t) componente a componente. Derivar cada componente de r(t):
r(t)=(t,\cos(t),\sin(t))\quad\Rightarrow\quad r'(t)=\left(\dfrac{d}{dt}t,\dfrac{d}{dt}\cos(t),\dfrac{d}{dt}\sin(t)\right).
As derivadas são \dfrac{d}{dt}t=1, \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t) e \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t). Logo,
r'(t)=\bigl(1,-\sin(t),\cos(t)\bigr).
Explicação curta: a derivada de um vetor é feita derivando cada componente; nada misterioso aqui.

Passo 3

Agora calculamos a norma de r'(t), que é necessária para obter o vetor tangente unitário. A norma eu calculo com a fórmula usual em \mathbb{R}^3:
\|r'(t)\|=\sqrt{(1)^2+(-\sin(t))^2+(\cos(t))^2}.
Usando \sin^2(t)+\cos^2(t)=1 obtemos
\|r'(t)\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Pequena observação didática: sempre que aparecer \sin^2+\cos^2 vale 1, o que simplifica muito normas envolvendo funções trigonométricas.

Passo 4

Definição do vetor tangente unitário: \;T(t)=\dfrac{r'(t)}{\|r'(t)\|}.
Substituindo r'(t) e \|r'(t)\| encontrados:
T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,-\sin(t),\cos(t)\bigr).
Interpretação: T(t) aponta na direção instantânea da curva e tem comprimento 1.

Passo 5

Para obter N(t) precisamos de T'(t). Derivamos cada componente de T(t). Como 1/\sqrt{2} é constante, podemos fatorá-la:
T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,-\sin(t),\cos(t)\bigr) \quad\Rightarrow\quad T'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(0,-\cos(t),-\sin(t)\bigr).
Explicação: derivada de -\sin(t) é -\cos(t); derivada de \cos(t) é -\sin(t).

Passo 6

Calcular a norma de T'(t):
\|T'(t)\|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{0^2+(-\cos(t))^2+(-\sin(t))^2} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Novamente usei \cos^2(t)+\sin^2(t)=1.

Passo 7

Definição do vetor normal principal unitário: \;N(t)=\dfrac{T'(t)}{\|T'(t)\|}.
Substituindo:
N(t)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(0,-\cos(t),-\sin(t)\bigr)}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =\bigl(0,-\cos(t),-\sin(t)\bigr).
Verificação rápida: este vetor tem norma 1 e é ortogonal a T(t) (produto escalar nulo), como deve ser para o vetor normal.

Passo 8

Definição do binormal: \;B(t)=T(t)\times N(t) (produto vetorial entre T e N). Vou calcular componente a componente usando a fórmula do determinante:
Escrever T(t) e N(t) explicitamente:
T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,-\sin(t),\cos(t)\bigr),\qquad N(t)=\bigl(0,-\cos(t),-\sin(t)\bigr).
Calculemos as componentes de B=T\times N:
Primeira componente:
B_1 = T_2 N_3 - T_3 N_2 = \left(-\dfrac{\sin(t)}{\sqrt{2}}\right)\left(-\sin(t)\right) - \left(\dfrac{\cos(t)}{\sqrt{2}}\right)\left(-\cos(t)\right) =\dfrac{\sin^2(t)+\cos^2(t)}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Segunda componente:
B_2 = T_3 N_1 - T_1 N_3 = \left(\dfrac{\cos(t)}{\sqrt{2}}\right)\cdot 0 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\sin(t)\right) =\dfrac{\sin(t)}{\sqrt{2}}.
Terceira componente:
B_3 = T_1 N_2 - T_2 N_1 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\cos(t)\right) - \left(-\dfrac{\sin(t)}{\sqrt{2}}\right)\cdot 0 =-\dfrac{\cos(t)}{\sqrt{2}}.
Portanto
B(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,\sin(t),-\cos(t)\bigr).

Passo 9

Breve verificação (útil na prova): confirmar que T, N e B são mutuamente ortonormais.
  • \|T(t)\|=1 por construção.
  • \|N(t)\|=1 por construção.
  • \|B(t)\|=\sqrt{\dfrac{1}{2}(1+\sin^2(t)+\cos^2(t))}=\sqrt{\dfrac{1+1}{2}}=1.
  • Produtos escalares T\cdot N, T\cdot B e N\cdot B são zero (pode-se checar pelo cálculo dos componentes).
Isso confirma que os vetores obtidos formam um sistema de referência ortonormal adequado ao longo da curva.

Resposta

T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,-\sin(t),\cos(t)\bigr)
N(t)=\bigl(0,-\cos(t),-\sin(t)\bigr)
B(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1,\sin(t),-\cos(t)\bigr)

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