Encontre uma parametrização da reta que passa pelos pontos \mathrm{A}(1,2,3) e \mathrm{B}(4,-1,2).
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço e pede uma parametrização da reta que passa por eles. Informações fornecidas:
Ponto A com coordenadas (1,2,3).
Ponto B com coordenadas (4,-1,2).
O que se pede: encontrar uma expressão paramétrica (ou vetorial) para a reta que passa por A e B.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (sem ainda calcular): uma reta no espaço pode ser escrita na forma vetorial
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v},
onde:
\mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto qualquer da reta, função do parâmetro t;
\mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (por exemplo A ou B);
\mathbf{v} é um vetor diretor da reta (um vetor paralelo à reta);
t\in\mathbb{R} é o parâmetro que “desenha” a reta: variando t obtém-se todos os pontos da reta.
Explicação rápida do que cada símbolo significa: \mathbf{r}_0 fixa um ponto de referência; \mathbf{v} diz a direção e o sentido; t escala e desloca ao longo dessa direção.
Passo 3
Vamos calcular o vetor diretor \mathbf{v} usando os pontos dados. O vetor que liga A a B é
Interpretação: para cada t obtém-se um ponto \mathbf{r}(t) na reta. As componentes correspondem a x, y, z.
Passo 5
Escrever também as equações paramétricas em componentes (úteis na prova):
x=1+3t,
y=2-3t,
z=3-t, \qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (importante na prova): para t=0 obtemos A=(1,2,3) e para t=1 obtemos B=(4,-1,2), então a parametrização está correta.
Passo 6
Forma simétrica da reta (quando as componentes do vetor diretor são não nulas):
\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-1}.
Comentário final: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v}=(3,-3,-1) também serve como vetor diretor; a escolha do parâmetro t pode ser diferente (por exemplo usar s=2t), mas as retas descritas serão as mesmas.