Considere a curva
, onde
.
Calcule o comprimento de
Calcule o comprimento de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva
no intervalo de
até
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de comprimento de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar usar derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada componente da curva
em relação a
. Isso significa que vamos derivar cada uma das três funções que formam a curva.
A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor derivada
. A magnitude é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das derivadas das componentes:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos integrar essa função no intervalo de
até
para encontrar o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento da curva é:
Resposta
O comprimento da curva
de
até
é dado pela integral:
Para obter um valor numérico, essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração apropriados ou ferramentas computacionais.