Considere a curva r(t) = (3 t^2, 6 t, 3 ln(t)), onde 1 <= t <= 3.
Calcule o comprimento de r(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva no intervalo de até . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de comprimento de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar usar derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada componente da curva em relação a . Isso significa que vamos derivar cada uma das três funções que formam a curva.
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor derivada . A magnitude é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das derivadas das componentes:

Passo 4

Agora que temos a expressão para , vamos integrar essa função no intervalo de até para encontrar o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento da curva é:

Resposta

O comprimento da curva de até é dado pela integral:
Para obter um valor numérico, essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração apropriados ou ferramentas computacionais.

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