Determine a equação da reta tangente à Hélice alpha(t) = (cos(t), sen(t), t) no ponto t = pi / 4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à hélice definida por no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de curvas paramétricas. Precisaremos calcular a posição da hélice no ponto dado e o vetor tangente nesse ponto para determinar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na hélice para . Basta substituir t na função alpha(t):
Sabendo que , temos:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente �� dado pela derivada da função alpha(t) em relação a t. Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Esse vetor é o vetor direção da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto de tangência e o vetor direção, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde:
  • é o ponto inicial
  • v é o vetor direção
  • s é o parâmetro
Então, substituindo os valores:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente:

Resposta

A equação da reta tangente à hélice no ponto é:
Ou, em forma paramétrica:

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