Determine a equação da reta tangente à Hélice no ponto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à hélice definida por no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de curvas paramétricas. Precisaremos calcular a posição da hélice no ponto dado e o vetor tangente nesse ponto para determinar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na hélice para . Basta substituir na função :
Sabendo que , temos:
Portanto, o ponto de tangência é .
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente �� dado pela derivada da função em relação a . Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Esse vetor é o vetor direção da reta tangente.
Passo 5
Com o ponto de tangência e o vetor direção, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde:
é o ponto inicial
é o vetor direção
é o parâmetro
Então, substituindo os valores:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente: