Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva $ a(t) $ que é definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de $ t $. O que a gente precisa descobrir é se essa curva é contínua para todo valor de $ t $ real. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar se a curva não tem “saltos” ou “interrupções” em nenhum ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da curva quando $ t < 0 $. Aqui, a função é $ a(t) = (-t^{4}, t^{4}) $. Como $ t^4 $ é um polinômio, sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo lugar. Então, nessa faixa de $ t $, a curva é contínua.
Passo 3
Agora, vamos para a parte onde $ 0 \leq t \leq 1 $. Nessa faixa, a função é constante: $ a(t) = (0,0) $. Funções constantes são super tranquilas e contínuas em todo o seu domínio. Então, também aqui não tem problema de continuidade.
Passo 4
Em seguida, vamos ver o que acontece quando $ t > 1 $. Nesse caso, a função é $ a(t) = \left((1-t)^{4}, (1-t)^{4}\right) $. Mais uma vez, temos potências de polinômios, que são contínuas em todo lado. Portanto, nessa terceira parte, a curva também é contínua.
Passo 5
Agora, precisamos prestar atenção nos pontos onde a definição da curva muda: $ t = 0 $ e $ t = 1 $. Vamos verificar se não tem nenhum “quebra” nesses pontos.
No ponto $ t = 0 $:
Quando $ t $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ t \to 0^- $), a função $ a(t) = (-t^{4}, t^{4}) $ tende a $ (0,0) $.
Quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita ($ t \to 0^+ $), a função já é $ (0,0) $.
E no próprio $ t = 0 $, $ a(0) = (0,0) $.
Como os limites laterais são iguais ao valor da função, está tudo certo ali.
No ponto $ t = 1 $:
Quando $ t $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ t \to 1^- $), a função continua sendo $ (0,0) $.
Quando $ t $ se aproxima de 1 pela direita ($ t \to 1^+ $), a função $ a(t) = \left((1-t)^{4}, (1-t)^{4}\right) $ também tende a $ (0,0) $.
E no próprio $ t = 1 $, $ a(1) = (0,0) $.
Novamente, os limites laterais coincidem com o valor da função, mantendo a continuidade.
Resposta
Sim, a curva $ a(t) $ é contínua para todo $ t \in \mathbb{R} $.