Considere a curva vetorial
e o ponto
(observe que esse ponto pertence à curva para um certo valor de
).
Obtenha as equações paramétricas e a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
nesse ponto.
Obtenha as equações paramétricas e a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Dada a curva vetorial
temos o ponto
que pertence à curva para algum valor de
. O problema pede:
- As equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto . - A equação vetorial da mesma reta tangente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função logarítmica exige
(domínio). - O ponto dado é
e pertence à curva para algum — precisamos encontrar esse . - A reta tangente em um ponto da curva tem direção dada pelo vetor derivada
avaliado no correspondente.
Passo 2
Achar o parâmetro
tal que
.
As componentes da igualdade
são
Resolvendo
obtemos
(pois
). Como
está no domínio
, verificamos as outras componentes em
:
Portanto
é o parâmetro que corresponde ao ponto
.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente e explicar as regras usadas.
Regra geral: a derivada de uma curva vetorial é feita componente a componente. Usaremos:
-
. - Para
é conveniente simplificar primeiro:
A derivada de
é
e a derivada de
é
.
- Para
usamos a regra do produto: se e , então . Aqui e , logo
Assim a derivada da curva é
Passo 4
Avaliar
no ponto
para obter o vetor direção da reta tangente.
Substituindo
em
:
Portanto o vetor direção da reta tangente é
.
Interpretação rápida:
é o vetor velocidade da curva no instante
, e esse vetor aponta na direção da tangente.
Passo 5
Construir as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto
e o vetor direção
.
A forma paramétrica da reta que passa por
com direção
é:
Como
, isto fica simplesmente
Dessa expressão extraímos as equações paramétricas (tomando
como parâmetro da reta):
Passo 6
Escrever a equação vetorial da reta tangente de forma compacta.
A equação vetorial, usando
como parâmetro, pode ser escrita como
Alternativamente, em forma ponto-direção: