Considere a curva vetorial
\mathbf{r}(t)=\ln (t) \mathbf{i}+\frac{t-1}{2 t} \mathbf{j}+t \ln (t) \mathbf{k}
e o ponto (0,0,0) (observe que esse ponto pertence à curva para um certo valor de t ).
Obtenha as equações paramétricas e a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) nesse ponto.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Dada a curva vetorial
\mathbf{r}(t)=\ln(t)\,\mathbf{i}+\frac{t-1}{2t}\,\mathbf{j}+t\ln(t)\,\mathbf{k},
temos o ponto (0,0,0) que pertence à curva para algum valor de t. O problema pede:
  1. As equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) no ponto (0,0,0).
  2. A equação vetorial da mesma reta tangente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função logarítmica exige t>0 (domínio).
  • O ponto dado é (0,0,0) e pertence à curva para algum t — precisamos encontrar esse t.
  • A reta tangente em um ponto da curva tem direção dada pelo vetor derivada \mathbf{r}'(t) avaliado no t correspondente.

Passo 2

Achar o parâmetro t_0 tal que \mathbf{r}(t_0)=(0,0,0).
As componentes da igualdade \mathbf{r}(t)=(0,0,0) são
\ln(t)=0,\qquad \frac{t-1}{2t}=0,\qquad t\ln(t)=0.
Resolvendo \ln(t)=0 obtemos t=1 (pois \ln(1)=0). Como t=1 está no domínio t>0, verificamos as outras componentes em t=1:
\frac{1-1}{2\cdot1}=0,\qquad 1\cdot\ln(1)=0.
Portanto t_0=1 é o parâmetro que corresponde ao ponto (0,0,0).

Passo 3

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente e explicar as regras usadas.
Regra geral: a derivada de uma curva vetorial é feita componente a componente. Usaremos:
  • \dfrac{d}{dt}\ln(t)=\dfrac{1}{t}.
  • Para \dfrac{t-1}{2t} é conveniente simplificar primeiro:
\frac{t-1}{2t}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2t}.
A derivada de \frac{1}{2} é 0 e a derivada de -\frac{1}{2t} é -\frac{1}{2}\cdot(-1)t^{-2}=\frac{1}{2t^{2}}.
  • Para t\ln(t) usamos a regra do produto: se u(t)=t e v(t)=\ln(t), então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'=1 e v'=\frac{1}{t}, logo
\frac{d}{dt}\big(t\ln(t)\big)=\ln(t)+1.
Assim a derivada da curva é
\mathbf{r}'(t)=\frac{1}{t}\,\mathbf{i}+\frac{1}{2t^{2}}\,\mathbf{j}+(\ln(t)+1)\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) no ponto t_0=1 para obter o vetor direção da reta tangente.
Substituindo t=1 em \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(1)=\frac{1}{1}\,\mathbf{i}+\frac{1}{2\cdot1^{2}}\,\mathbf{j}+(\ln(1)+1)\,\mathbf{k} =1\cdot\mathbf{i}+\tfrac{1}{2}\mathbf{j}+1\cdot\mathbf{k}.
Portanto o vetor direção da reta tangente é \langle 1,\tfrac{1}{2},1\rangle.
Interpretação rápida: \mathbf{r}'(1) é o vetor velocidade da curva no instante t=1, e esse vetor aponta na direção da tangente.

Passo 5

Construir as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto P=\mathbf{r}(1)=(0,0,0) e o vetor direção \mathbf{v}=\mathbf{r}'(1)=\langle 1,\tfrac{1}{2},1\rangle.
A forma paramétrica da reta que passa por P com direção \mathbf{v} é:
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(1)+s\,\mathbf{r}'(1).
Como \mathbf{r}(1)=(0,0,0), isto fica simplesmente
\mathbf{L}(s)=s\,\mathbf{i}+\frac{s}{2}\,\mathbf{j}+s\,\mathbf{k}.
Dessa expressão extraímos as equações paramétricas (tomando s como parâmetro da reta):
x(s)=s,\qquad y(s)=\frac{s}{2},\qquad z(s)=s.

Passo 6

Escrever a equação vetorial da reta tangente de forma compacta.
A equação vetorial, usando s como parâmetro, pode ser escrita como
\mathbf{L}(s)=s\,\mathbf{i}+\frac{s}{2}\,\mathbf{j}+s\,\mathbf{k}.
Alternativamente, em forma ponto-direção:
\mathbf{L}(s)=(0,0,0)+s\langle 1,\tfrac{1}{2},1\rangle.

Resposta

x=s,\; y=\dfrac{s}{2},\; z=s
\mathbf{L}(s)=s\,\mathbf{i}+\dfrac{s}{2}\,\mathbf{j}+s\,\mathbf{k}

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