Usando variação de parâmetros, resolva as EDOs: 4 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 \sqrt{x}
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:\n
A equação diferencial dada é
4y''+2y'+y=4\sqrt{x}.
O que se pede: resolver essa EDO usando o método de variação de parâmetros, ou seja, encontrar a solução geral y(x).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
É uma EDO linear de segunda ordem, não homogênea.
Coeficientes são constantes.
O termo a direita é 4\sqrt{x}=4x^{1/2}.
Não há outras condições iniciais (queremos a solução geral).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1): dividir tudo por 4. Obtém-se
y''+\tfrac{1}{2}y'+\tfrac{1}{4}y=\sqrt{x}.
Aqui o termo não homogêneo é g(x)=\sqrt{x}. Antes de aplicar variação de parâmetros precisamos das soluções fundamentais da equação homogênea correspondente:
y''+\tfrac{1}{2}y'+\tfrac{1}{4}y=0.
Escrevemos a equação característica associada: para y=e^{rx},
Calcular o Wronskiano W(x)=\begin{vmatrix}y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix}. É útil uma observação geral: para y_1=e^{ax}\cos(bx) e y_2=e^{ax}\sin(bx) temos, calculando as derivadas e o determinante,
W(x)=b\,e^{2ax}.
No nosso caso a=\alpha=-\tfrac{1}{4} e b=\beta=\tfrac{\sqrt{3}}{4}, logo
Integrar para obter u_1 e u_2. Usaremos variável de integração t para deixar claro que são primitivas. Como as integrais não têm antiderivadas elementares simples (envolvem funções especiais), deixamos em forma integral indefinida — isso é perfeitamente aceitável numa solução por variação de parâmetros; constantes de integração resultantes serão absorvidas na solução homogênea. Assim:
Como nota didática rápida: os limites ou constantes nas integrais indefinidas podem ser escolhidos arbitrariamente — diferenças ficam absorvidas em C_1y_1+C_2y_2. Se alguém quiser as integrais como integrais definidas (por exemplo integrando de 0 a x com cuidado na origem), também é possível e produz uma representação equivalente.
Passo 7
Escrever a solução geral juntando homogênea e particular. A solução geral da EDO é