Usando variação de parâmetros, resolva as EDOs:
4 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 \sqrt{x}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:\n
A equação diferencial dada é
4y''+2y'+y=4\sqrt{x}.
O que se pede: resolver essa EDO usando o método de variação de parâmetros, ou seja, encontrar a solução geral y(x).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma EDO linear de segunda ordem, não homogênea.
  • Coeficientes são constantes.
  • O termo a direita é 4\sqrt{x}=4x^{1/2}.
  • Não há outras condições iniciais (queremos a solução geral).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1): dividir tudo por 4. Obtém-se
y''+\tfrac{1}{2}y'+\tfrac{1}{4}y=\sqrt{x}.
Aqui o termo não homogêneo é g(x)=\sqrt{x}. Antes de aplicar variação de parâmetros precisamos das soluções fundamentais da equação homogênea correspondente:
y''+\tfrac{1}{2}y'+\tfrac{1}{4}y=0.
Escrevemos a equação característica associada: para y=e^{rx},
r^2+\tfrac{1}{2}r+\tfrac{1}{4}=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^2+\tfrac{1}{2}r+\tfrac{1}{4}=0.
Calcule o discriminante:
\Delta=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2-4\cdot1\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}-1=-\tfrac{3}{4}.
Logo as raízes são complexas:
r=\frac{-\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{-\tfrac{3}{4}}}{2}=\frac{-\tfrac{1}{2}\pm i\sqrt{\tfrac{3}{4}}}{2}.
Simplificando a parte real e imaginária:
r=-\tfrac{1}{4}\pm i\frac{\sqrt{3}}{4}.
Para raízes \alpha\pm i\beta a base fundamental da solução homogênea é
y_1(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_2(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{4} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{4}. Portanto as soluções fundamentais são
y_1(x)=e^{-x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big),\qquad y_2(x)=e^{-x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big).

Passo 4

Calcular o Wronskiano W(x)=\begin{vmatrix}y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix}. É útil uma observação geral: para y_1=e^{ax}\cos(bx) e y_2=e^{ax}\sin(bx) temos, calculando as derivadas e o determinante,
W(x)=b\,e^{2ax}.
No nosso caso a=\alpha=-\tfrac{1}{4} e b=\beta=\tfrac{\sqrt{3}}{4}, logo
W(x)=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,e^{2(-1/4)x}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}e^{-x/2}.
(Se quiser verificar: essa expressão vem de simplificar y_1y_2'-y_1'y_2 explicitamente.)

Passo 5

Formulas de variação de parâmetros (forma padrão da EDO y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)):
u_1'(x)=-\frac{g(x)y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{g(x)y_1(x)}{W(x)},
onde a solução particular é y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x). Aqui g(x)=\sqrt{x}. Substituindo y_1,y_2,W obtemos
u_1'(x)=-\frac{\sqrt{x}\;e^{-x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)}{\tfrac{\sqrt{3}}{4}e^{-x/2}}, \qquad u_2'(x)=\frac{\sqrt{x}\;e^{-x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)}{\tfrac{\sqrt{3}}{4}e^{-x/2}}.
Simplificando os expoentes e^{-x/4}/e^{-x/2}=e^{x/4} e invertendo \tfrac{\sqrt{3}}{4} para 4/\sqrt{3}, temos
u_1'(x)=-\frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{x}\;e^{x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big),
u_2'(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{x}\;e^{x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big).

Passo 6

Integrar para obter u_1 e u_2. Usaremos variável de integração t para deixar claro que são primitivas. Como as integrais não têm antiderivadas elementares simples (envolvem funções especiais), deixamos em forma integral indefinida — isso é perfeitamente aceitável numa solução por variação de parâmetros; constantes de integração resultantes serão absorvidas na solução homogênea. Assim:
u_1(x)=-\frac{4}{\sqrt{3}}\int \sqrt{t}\;e^{t/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}t\big)\,dt,
u_2(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}\int \sqrt{t}\;e^{t/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}t\big)\,dt.
Portanto a solução particular expressa por variação de parâmetros é
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
ou explicitando:
y_p(x)=-\frac{4}{\sqrt{3}}\,e^{-x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\int \sqrt{t}\;e^{t/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}t\big)\,dt
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{4}{\sqrt{3}}\,e^{-x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\int \sqrt{t}\;e^{t/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}t\big)\,dt.
Como nota didática rápida: os limites ou constantes nas integrais indefinidas podem ser escolhidos arbitrariamente — diferenças ficam absorvidas em C_1y_1+C_2y_2. Se alguém quiser as integrais como integrais definidas (por exemplo integrando de 0 a x com cuidado na origem), também é possível e produz uma representação equivalente.

Passo 7

Escrever a solução geral juntando homogênea e particular. A solução geral da EDO é
y(x)=C_1e^{-x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)+C_2e^{-x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)+y_p(x),
onde y_p(x) é dado pelas integrais acima.

Resposta

y(x)=C_1e^{-x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)+C_2e^{-x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\;-\;\dfrac{4}{\sqrt{3}}\,e^{-x/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\displaystyle\int \sqrt{t}\;e^{t/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}t\big)\,dt\;+\;\dfrac{4}{\sqrt{3}}\,e^{-x/4}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}x\big)\displaystyle\int \sqrt{t}\;e^{t/4}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{4}t\big)\,dt

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