Um reator contínuo de tanque agitado (CSTR) possui volume
e vazão de entrada e saída
. Inicialmente, a concentração do traçador no reator é nula. No instante
, injeta-se instantaneamente uma massa
de traçador no interior do tanque. Essa injeção rápida é modelada como um pulso de Dirac
. O sistema dispõe de um circuito de medição e controle que apresenta dinâmica de segunda ordem (por exemplo, um dispositivo com inércia e ação derivativa proporcional), de modo que, após linearização, a combinação da diluição do reator com a dinâmica do circuito pode ser representada pela seguinte equação diferencial linear:
onde
é a concentração do traçador no reator
, e
é o coeficiente de renovação do conteúdo do reator (em
).
Escreva a equação diferencial que descreve a concentração no interior do reator ao longo do tempo. Sabendo que
, determine a concentração
utilizando transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte equação diferencial linear com um pulso de Dirac:
Dados numéricos fornecidos:
e condições iniciais:
O que se pede: aplicar transformada de Laplace para determinar
para todo
.
Passo 2
Lembrete rápido (com explicação didática) sobre transformada de Laplace e propriedades que usaremos:
- Definição: para uma função
(causal, para ),
A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em
, resolver em
e voltar por transformada inversa.
- Derivadas: se
e , são conhecidos, então
Isso permite transformar derivadas em polinômios multiplicando
por
e subtraindo termos envolvendo as condições iniciais.
- Delta de Dirac deslocado: para o pulso
,
- Teorema do deslocamento no tempo (na inversa): se
então
onde
é a função degrau unitário deslocada (valendo
para
e
para
). Isso significa que um fator
em
corresponde a atrasar a função no tempo.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial. Denotando
e usando
,
, obtemos:
Substituindo as fórmulas das derivadas e do delta e simplificando com as condições iniciais:
Colocando
em evidência:
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos
,
,
. Assim:
Observação: fatoramos o denominador para facilitar a transformada inversa. O polinômio
pois
.
Passo 5
Usamos a propriedade do deslocamento no tempo:
tem um fator
. Logo a transformada inversa será da forma
onde
. Precisamos então calcular
.
Passo 6
Calculamos
por frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
Escolhendo valores de
para resolver rapidamente:
- Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 7
Fazemos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
(para
), obtemos
Logo, aplicando o deslocamento temporal:
Passo 8
Escrevemos a solução de forma peça a peça (mais prática para a prova):
Verificação rápida (útil para ganhar confiança): o impulso delta na segunda derivada provoca uma descontinuidade na derivada primeira, mas não na própria
. De fato,
logo
é contínua em
. Já a derivada à direita vale
enquanto
, portanto o salto em
é
, igual a
, o que confirma coerência física/matemática da solução.