Utilizando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
.
Passo 1
O problema pede que a gente resolva o problema de valor inicial dado por
Informações importantes do enunciado:
- A equação diferencial ordinária de segunda ordem é
- As condições iniciais são
e - A solução buscada é a função
definida para que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace: primeiro lembro a definição e as propriedades que vou precisar. Para uma função
(causal, isto é, definida para
), definimos
onde
é a variável complexa da transformada (na prática, tratamos
como um número real maior que algum valor que faça a integral convergir). Propriedades que usaremos:
- Linearidade:
- Transformada de exponencial:
(para ). - Transformadas de seno e cosseno:
e - Transformadas de derivadas (essenciais para problemas com condições iniciais):
Aqui
. Vou usar essas fórmulas detalhadamente abaixo.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
. Denotando
, obtemos:
Transformando
:
Como
e
, isso vira
Transformando
:
Transformando o lado direito
:
Agora escrevo a equação transformada juntando os termos:
Passo 4
Reescrevo e isolo
. Somando os termos em
,
Passo o termo
para o outro lado:
Logo
Esta expressão já está em forma de soma de frações racionais; agora vamos decompor para inverter a transformada.
Passo 5
Trabalho a primeira fração
por frações parciais. Procuro constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
dá
Expando o lado direito:
Igualando coeficientes (polinômio constante 10 significa coeficiente de
e
são zero):
-
: -
: - constante:
Resolvo o sistema:
- De
segue - De
segue - Substituindo em
:
Então
Portanto
Passo 6
Volto à expressão de
e somo os termos que têm denominador
. Lembre que
Substituindo a decomposição:
Combino os dois termos com
no denominador:
Calculo o numerador com atenção:
- Coeficiente de
: - Constante:
Assim
Posso separar em termos mais simples:
Passo 7
Agora faço a transformada inversa termo a termo usando tabelas conhecidas:
-
-
porque em -
pois , então .
Aplicando isso em cada termo:
Somando tudo, a solução
é
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais (cheque para ter confiança):
- Em
: , bate com . - Derivando (para confirmar
): Em : , bate com a condição .
Tudo conferido.