Utilizando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
(\mathbf{2 , 5}) y^{\prime \prime}+9 y=10 e^{2 t} \quad y(0)=-1, y^{\prime}(0)=5.

Passo 1

O problema pede que a gente resolva o problema de valor inicial dado por
y''+9y=10e^{2t},\qquad y(0)=-1,\qquad y'(0)=5.
Informações importantes do enunciado:
  • A equação diferencial ordinária de segunda ordem é \;y''+9y=10e^{2t}.
  • As condições iniciais são \;y(0)=-1 e \;y'(0)=5.
  • A solução buscada é a função y(t) definida para t\ge0 que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace: primeiro lembro a definição e as propriedades que vou precisar. Para uma função y(t) (causal, isto é, definida para t\ge0), definimos
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada (na prática, tratamos s como um número real maior que algum valor que faça a integral convergir). Propriedades que usaremos:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de exponencial: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} (para \Re(s)>a).
  • Transformadas de seno e cosseno: \mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\dfrac{s}{s^2+b^2} e \mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\dfrac{b}{s^2+b^2}.
  • Transformadas de derivadas (essenciais para problemas com condições iniciais): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Vou usar essas fórmulas detalhadamente abaixo.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação \;y''+9y=10e^{2t}. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos:
Transformando \;y'':
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Como y(0)=-1 e y'(0)=5, isso vira
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s(-1)-5 = s^2Y(s)+s-5.
Transformando 9y:
\mathcal{L}\{9y\}=9Y(s).
Transformando o lado direito 10e^{2t}:
\mathcal{L}\{10e^{2t}\}=10\cdot\frac{1}{s-2}=\frac{10}{s-2}\qquad(\Re(s)>2).
Agora escrevo a equação transformada juntando os termos:
(s^2Y(s)+s-5)+9Y(s)=\frac{10}{s-2}.

Passo 4

Reescrevo e isolo Y(s). Somando os termos em Y(s),
(s^2+9)Y(s)+s-5=\frac{10}{s-2}.
Passo o termo s-5 para o outro lado:
(s^2+9)Y(s)=\frac{10}{s-2}-s+5.
Logo
Y(s)=\frac{10}{(s-2)(s^2+9)}-\frac{s-5}{s^2+9}.
Esta expressão já está em forma de soma de frações racionais; agora vamos decompor para inverter a transformada.

Passo 5

Trabalho a primeira fração \dfrac{10}{(s-2)(s^2+9)} por frações parciais. Procuro constantes A,B,C tais que
\frac{10}{(s-2)(s^2+9)}=\frac{A}{s-2}+\frac{Bs+C}{s^2+9}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s^2+9)
10=A(s^2+9)+(Bs+C)(s-2).
Expando o lado direito:
10= A s^2 + 9A + (Bs+C)s -2(Bs+C) = (A+B)s^2 +(-2B+C)s +(9A-2C).
Igualando coeficientes (polinômio constante 10 significa coeficiente de s^2 e s são zero):
  • s^2: A+B=0.
  • s^1: -2B+C=0.
  • constante: 9A-2C=10.
Resolvo o sistema:
  • De A+B=0 segue B=-A.
  • De -2B+C=0 segue C=2B=2(-A)=-2A.
  • Substituindo em 9A-2C=10: 9A-2(-2A)=9A+4A=13A=10 \implies A=\frac{10}{13}.
Então
B=-A=-\frac{10}{13},\qquad C=-2A=-\frac{20}{13}.
Portanto
\frac{10}{(s-2)(s^2+9)}=\frac{10/13}{s-2}+\frac{\displaystyle -\frac{10}{13}s-\frac{20}{13}}{s^2+9}.

Passo 6

Volto à expressão de Y(s) e somo os termos que têm denominador s^2+9. Lembre que
Y(s)=\frac{10}{(s-2)(s^2+9)}-\frac{s-5}{s^2+9}.
Substituindo a decomposição:
Y(s)=\frac{10/13}{s-2}+\frac{-\frac{10}{13}s-\frac{20}{13}}{s^2+9}-\frac{s-5}{s^2+9}.
Combino os dois termos com s^2+9 no denominador:
\frac{-\frac{10}{13}s-\frac{20}{13}}{s^2+9}-\frac{s-5}{s^2+9} =\frac{-\frac{10}{13}s-\frac{20}{13}-s+5}{s^2+9}.
Calculo o numerador com atenção:
  • Coeficiente de s: -\frac{10}{13}-1=-\frac{10}{13}-\frac{13}{13}=-\frac{23}{13}.
  • Constante: -\frac{20}{13}+5=-\frac{20}{13}+\frac{65}{13}=\frac{45}{13}.
Assim
Y(s)=\frac{10/13}{s-2}+\frac{-\frac{23}{13}s+\frac{45}{13}}{s^2+9}.
Posso separar em termos mais simples:
Y(s)=\frac{10}{13}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{23}{13}\cdot\frac{s}{s^2+9}+\frac{45}{13}\cdot\frac{1}{s^2+9}.

Passo 7

Agora faço a transformada inversa termo a termo usando tabelas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-2}\right\}=e^{2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^2+9}\right\}=\cos(3t) porque b=3 em s^2+(3)^2.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+9}\right\}=\dfrac{1}{3}\sin(3t) pois \mathcal{L}\{\sin(3t)\}=3/(s^2+9), então 1/(s^2+9)=(1/3)\cdot 3/(s^2+9).
Aplicando isso em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{13}\cdot\frac{1}{s-2}\right\}=\frac{10}{13}e^{2t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{23}{13}\cdot\frac{s}{s^2+9}\right\}=-\frac{23}{13}\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{45}{13}\cdot\frac{1}{s^2+9}\right\}=\frac{45}{13}\cdot\frac{1}{3}\sin(3t)=\frac{15}{13}\sin(3t).
Somando tudo, a solução y(t) é
y(t)=\frac{10}{13}e^{2t}-\frac{23}{13}\cos(3t)+\frac{15}{13}\sin(3t).

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais (cheque para ter confiança):
  • Em t=0: y(0)=\dfrac{10}{13}-\dfrac{23}{13}+0=-\dfrac{13}{13}=-1, bate com y(0)=-1.
  • Derivando (para confirmar y'(0)=5): y'(t)=\frac{20}{13}e^{2t}+\frac{69}{13}\sin(3t)+\frac{45}{13}\cos(3t).Em t=0: y'(0)=\dfrac{20}{13}+0+\dfrac{45}{13}=\dfrac{65}{13}=5, bate com a condição y'(0)=5.
Tudo conferido.

Resposta

y(t)=\frac{10}{13}e^{2t}-\frac{23}{13}\cos(3t)+\frac{15}{13}\sin(3t).

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