Considere as curvas
dadas por
e
, respectivamente. Mostre que
e
têm o mesmo traço mas
é regular e
não é.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em ℝ², α(t)=(t,t²) e β(t)=(t³,t⁶). O objetivo é mostrar que elas têm o mesmo traço (imagem) mas que, segundo a definição, α é regular e β não é. Vamos usar definição de traço de curva e de regularidade (derivada não nula).
Passo 2
O traço de α é o conjunto de pontos (x,y) com x=t e y=t², ou seja, { (x,y)∈ℝ² : y=x² }. Para β, vemos que β(t)=(u,u²) se definirmos u=t³, então a imagem de β também é { (u,u²) : u∈ℝ } = { (x,y) : y=x² }. Portanto, α e β têm o mesmo traço.
Passo 3
Uma curva γ é regular se γ’(t)≠0 para todo t. Calculando α’(t) obtemos α’(t)= (1,2t). Esse vetor nunca é o vetor zero, pois a primeira componente é constante 1.
Passo 4
Agora, β’(t)=(3t²,6t⁵). Podemos fatorar β’(t)=3t²(1,2t³). Em t=0 obtemos β’(0)=(0,0), ou seja, derivada nula em t=0. Logo β não é regular.
Passo 5
Concluímos que, embora α e β tenham imagem igual (a parábola y=x²), α é regular porque α’(t)≠0 em todo t, enquanto β deixa de ser regular em t=0.
Resposta
As curvas têm o mesmo traço, que é a parábola { (x,y)∈ℝ² : y=x² }. A curva α é regular porque
para todo t. Já β não é regular pois
.