Considere as curvas alpha, beta: R longrightarrow R^2 dadas por alpha(t)=(t, t^2) e beta(t)=(t^3, t^6), respectivamente. Mostre que alpha e beta têm o mesmo traço mas alpha é regular e beta não é.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em ℝ², α(t)=(t,t²) e β(t)=(t³,t⁶). O objetivo é mostrar que elas têm o mesmo traço (imagem) mas que, segundo a definição, α é regular e β não é. Vamos usar definição de traço de curva e de regularidade (derivada não nula).

Passo 2

O traço de α é o conjunto de pontos (x,y) com x=t e y=t², ou seja, { (x,y)∈ℝ² : y=x² }. Para β, vemos que β(t)=(u,u²) se definirmos u=t³, então a imagem de β também é { (u,u²) : u∈ℝ } = { (x,y) : y=x² }. Portanto, α e β têm o mesmo traço.

Passo 3

Uma curva γ é regular se γ’(t)≠0 para todo t. Calculando α’(t) obtemos α’(t)= (1,2t). Esse vetor nunca é o vetor zero, pois a primeira componente é constante 1.

Passo 4

Agora, β’(t)=(3t²,6t⁵). Podemos fatorar β’(t)=3t²(1,2t³). Em t=0 obtemos β’(0)=(0,0), ou seja, derivada nula em t=0. Logo β não é regular.

Passo 5

Concluímos que, embora α e β tenham imagem igual (a parábola y=x²), α é regular porque α’(t)≠0 em todo t, enquanto β deixa de ser regular em t=0.

Resposta

As curvas têm o mesmo traço, que é a parábola { (x,y)∈ℝ² : y=x² }. A curva α é regular porque alpha'(t)=(1,2t)neq(0,0) para todo t. Já β não é regular pois beta'(0)=(3·0²,6·0⁵)=(0,0)².

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