Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral de contorno
usando a fórmula integral de Cauchy. Vamos trabalhar com integração complexa, especificamente utilizando a Fórmula de Cauchy. Para resolver, precisamos identificar as singularidades da função dentro do contorno e aplicar a fórmula adequadamente.
Passo 2
Identificando a Singularidade:
A função que estamos integrando é
Para encontrar as singularidades, procuramos onde o denominador é zero:
Então, temos uma singularidade simples em
.
Passo 3
Verificando se a Singularidade está Dentro do Contorno:
O contorno de integração é o círculo definido por
. Isso significa que o centro do círculo é em
e o raio é 2.
Vamos verificar a distância da singularidade
ao centro
:
Como 1 é menor que o raio 2, a singularidade
está dentro do contorno de integração.
Passo 4
Aplicando a Fórmula Integral de Cauchy:
A Fórmula de Cauchy para integrais de contorno nos diz que se
é analítica dentro e sobre o contorno, exceto em um ponto
dentro do contorno, então:
No nosso caso, podemos reescrever a função como:
Aqui,
e
.
Passo 5
Calculando
:
Substituímos
na função
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Resposta
A integral vale
.