Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z+1|=2 z d zz+2.

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral de contorno
oint|z+1|=2 z , dzz + 2
usando a fórmula integral de Cauchy. Vamos trabalhar com integração complexa, especificamente utilizando a Fórmula de Cauchy. Para resolver, precisamos identificar as singularidades da função dentro do contorno e aplicar a fórmula adequadamente.

Passo 2

Identificando a Singularidade:
A função que estamos integrando é
zz + 2
Para encontrar as singularidades, procuramos onde o denominador é zero:
z + 2 = 0 Rightarrow z = -2
Então, temos uma singularidade simples em .

Passo 3

Verificando se a Singularidade está Dentro do Contorno:
O contorno de integração é o círculo definido por | -2 - (-1) | = |-1| = 1. Isso significa que o centro do círculo é em e o raio é 2.
Vamos verificar a distância da singularidade ao centro :
Como 1 é menor que o raio 2, a singularidade está dentro do contorno de integração.

Passo 4

Aplicando a Fórmula Integral de Cauchy:
A Fórmula de Cauchy para integrais de contorno nos diz que se ointC f(z)z - z0 dz = 2pi i cdot f(z0) é analítica dentro e sobre o contorno, exceto em um ponto zz + 2 = zz - (-2) dentro do contorno, então:
No nosso caso, podemos reescrever a função como:
Aqui, e .

Passo 5

Calculando f(-2) = -2:
Substituímos oint|z+1|=2 z , dzz + 2 = 2pi i cdot f(-2) = 2pi i cdot (-2) = -4pi i na função :
Agora, aplicamos a fórmula:

Resposta

A integral vale .

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