Item 2 (5 pontos). Dê um exemplo de uma função dos inteiros positivos nos inteiros positivos tal que a imagem seja não abranja todos os inteiros positivos, mas cada inteiro positivo tenha imagem diferente dos demais (em linguagem matemática: uma função injetiva, mas não sobrejetiva).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função que vai dos números inteiros positivos para eles mesmos, mas que não usa todos os números na saída. Isso significa que a função é injetora (cada entrada tem uma saída única) mas não é sobretiva (não cobre todos os números na saída). Para isso, vamos criar uma função que mapeia cada número inteiro positivo para outro número inteiro positivo de forma que nenhum número seja repetido, mas alguns números fiquem de fora.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma função simples que é injetora. Uma função que sempre adiciona 1 a cada entrada poderia funcionar. Por exemplo:
f(n) = n + 1
Essa função vai mapear cada número para . Então, 1 vai para 2, 2 vai para 3, e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa função é realmente injetora. Se n1 + 1 = n2 + 1 , então:
n1 = n2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso mostra que é injetora, porque entradas diferentes dão saídas diferentes.

Passo 4

Em seguida, vamos ver se a função não é sobrejetora. Observando a função , percebemos que o número 1 nunca aparece como saída, porque quando , , dá 3, e assim por diante. Portanto, o número 1 está faltando na imagem da função, o que significa que a função não é sobrejetora.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições é:
f(n) = n + 1

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