Calcule o comprimento da curva alpha dada por: alpha:[0, pi] longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(e^-t cos (t), e^-t sen(t)). Passo 1O enunciado pede para calcular o comprimento da curva parametrizada por alpha(t)=(e^-tcos t,,e^-tsin t) em [0,pi]. Isso envolve o conteúdo de comprimento de curva em R^2, que usamos definiindo L=integral0^pi l|alpha'(t)r|,dt Passo 2Primeiro, calculamos a derivada de alpha(t). Seja alpha(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=e^-tcos t, y(t)=e^-tsin t Então x'(t)=-e^-tcos t - e^-tsin t, y'(t)=-e^-tsin t + e^-tcos t Passo 3Agora encontramos o módulo da velocidade: l|alpha'(t)r|=raiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 =raize^-2tl[(-cos t-sin t)^2+(-sin t+cos t)^2r] Observando que (-cos t-sin t)^2+(-sin t+cos t)^2=(cos^2t+2sin tcos t+sin^2t)+(sin^2t-2sin tcos t+cos^2t)=2, segue l|alpha'(t)r|=raiz2,e^-t Passo 4Finalmente, integramos para obter o comprimento: L=integral0^pi raiz2,e^-t,dt =raiz2l[-e^-tr]0^pi =raiz2l(1 - e^-pir) Resposta raiz2l(1 - e^-pir) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere as curvas alpha, beta: R longrightarrow R^2 dadas por alpha(t)=(t, t^2) e beta(t)=(t^3, t^6), respectivamente. Mostre que alpha e beta têm o mesmo traço mas alpha é regular e beta não é. Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário. oint|z+1|=2 z d zz+2. Corrente caindo No Problema 45 dos Exercícios 2.4 vimos que um modelo matemático para a velocidade v de uma corrente escorregando da borda de uma plataforma horizontal é x v d vd x+v^2=32 x Neste problema foi solicitado que a ED fosse resolvida convertendo-a em uma equaçảo exata através de um fator de integração. Agora, resolva a ED usando o fato de que ela é uma equação de Bernoulli. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva alpha dada por: alpha(t)=(2 cos (t), 2 sen(t)), t >= 0.