Calcule o comprimento da curva alpha dada por:
alpha:[0, pi] longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(e^-t cos (t), e^-t sen(t)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva parametrizada por alpha(t)=(e^-tcos t,,e^-tsin t) em [0,pi]. Isso envolve o conteúdo de comprimento de curva em R^2, que usamos definiindo
L=integral0^pi l|alpha'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de alpha(t). Seja
alpha(t)=(x(t),y(t))
com
x(t)=e^-tcos t,
y(t)=e^-tsin t
Então
x'(t)=-e^-tcos t - e^-tsin t,
y'(t)=-e^-tsin t + e^-tcos t

Passo 3

Agora encontramos o módulo da velocidade:
l|alpha'(t)r|=raiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 =raize^-2tl[(-cos t-sin t)^2+(-sin t+cos t)^2r]
Observando que
(-cos t-sin t)^2+(-sin t+cos t)^2=(cos^2t+2sin tcos t+sin^2t)+(sin^2t-2sin tcos t+cos^2t)=2,
segue
l|alpha'(t)r|=raiz2,e^-t

Passo 4

Finalmente, integramos para obter o comprimento:
L=integral0^pi raiz2,e^-t,dt =raiz2l[-e^-tr]0^pi =raiz2l(1 - e^-pir)

Resposta

raiz2l(1 - e^-pir)

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