Considere as curvas cujas equações polares são
e
.
(a) Esboce as curvas.
(b) Calcule a área da região interna comum a ambas as curvas.
(a) Esboce as curvas.
(b) Calcule a área da região interna comum a ambas as curvas.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
e
Pede (a) um esboço e (b) a área da região interna comum. Vamos usar: conversão para Cartesianas para entender o formato, achar os pontos de interseção e depois integrar em polares para a área.
Passo 2
Esboço das curvas:
- Para
escrevemos em Cartesianas:
que é um círculo de raio
e centro em
. Note que
implica
.
- Para
é um limaçon sem laço (convexo), pois . Em tem , em tem . A forma geral é um “dente” voltado para a esquerda.
Passo 3
Pontos de interseção: igualamos
logo
Passo 4
Para cada ângulo
a região comum é
Verifica-se que para
vale
e para
vale
. Assim, partimos o integral nesses trechos.
Passo 5
A área em coordenadas polares é
Pela simetria em relação ao eixo
, fazemos de
a
e dobramos. Portanto
Fator
e
se cancelam:
Passo 6
Calcular o primeiro integral:
Temos
Somando:
Passo 7
Calcular o segundo integral:
Em
:
.
Em :
.
Logo o valor é
Em
Logo o valor é
Passo 8
Somando os dois resultados:
Resposta
(a) A curva
é um círculo de raio
centrado em
;
a curva é uma limaçon convexa, com “dente” voltado para a esquerda.
(b) A área da região interna comum é
a curva
(b) A área da região interna comum é