Considere as curvas cujas equações polares são r=3 cos theta e r=2-cos theta.
(a) Esboce as curvas.
(b) Calcule a área da região interna comum a ambas as curvas.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
r = 3costheta
e
r = 2 - costheta
Pede (a) um esboço e (b) a área da região interna comum. Vamos usar: conversão para Cartesianas para entender o formato, achar os pontos de interseção e depois integrar em polares para a área.

Passo 2

Esboço das curvas:
  1. Para r=3costheta escrevemos em Cartesianas:
x^2+y^2 = 3x,
que é um círculo de raio 3/2 e centro em (3/2,0). Note que costheta>=0 implica -tfracpi2<=theta<=tfracpi2.
  1. Para r=2-costheta é um limaçon sem laço (convexo), pois 2>1. Em theta=0 tem r=1, em theta=pi tem r=3. A forma geral é um “dente” voltado para a esquerda.

Passo 3

Pontos de interseção: igualamos
3costheta = 2 - costheta Longrightarrow 4costheta = 2 Longrightarrow costheta = tfrac12
logo
theta = pm tfracpi3

Passo 4

Para cada ângulo thetain[-tfracpi2,tfracpi2] a região comum é
0 <= r <= minl(3costheta,;2-costhetar)
Verifica-se que para |theta|<=pi/3 vale 2-costheta<=3costheta e para pi/3<=|theta|<=pi/2 vale 3costheta<=2-costheta. Assim, partimos o integral nesses trechos.

Passo 5

A área em coordenadas polares é
A ;=;12integraltheta1^theta2 l[min(r1,r2)r]^2,dtheta
Pela simetria em relação ao eixo x, fazemos de 0 a pi/2 e dobramos. Portanto
A ;=; 2gl[ 12integral0^pi/3(2-costheta)^2,dtheta ;+; 12integralpi/3^pi/2(3costheta)^2,dtheta gr]
Fator 2 e tfrac12 se cancelam:
A = integral0^pi/3(2-costheta)^2,dtheta ;+; integralpi/3^pi/29cos^2theta,dtheta

Passo 6

Calcular o primeiro integral:
integral0^pi/3(2-costheta)^2,dtheta =integral0^pi/3l(4-4costheta+cos^2thetar)dtheta
Temos
integral0^pi/34,dtheta = tfrac4pi3, integral0^pi/3costheta,dtheta = tfracraiz32,
integral0^pi/3cos^2theta,dtheta =12integral0^pi/3(1+cos2theta),dtheta =12l[tfracpi3+tfrac12sintfrac2pi3r] =pi6+raiz38
Somando:
integral0^pi/3(2-costheta)^2,dtheta = 4pi3 -4cdotraiz32 + l(pi6+raiz38r) = 3pi2 - 15raiz38

Passo 7

Calcular o segundo integral:
integralpi/3^pi/29cos^2theta,dtheta =9cdot12integralpi/3^pi/2(1+cos2theta),dtheta =92l[theta+tfrac12sin2thetar]pi/3^pi/2
Em pi/2: theta=tfracpi2,;sinpi=0.
Em pi/3: theta=tfracpi3,;sintfrac2pi3=tfracraiz32.
Logo o valor é
92l(tfracpi2 - (tfracpi3+tfracraiz34)r) = 9pi4 - 9raiz38 = 3pi4 - 9raiz38

Passo 8

Somando os dois resultados:
A = l(3pi2 - 15raiz38r) +l(3pi4 - 9raiz38r) = 9pi4 - 3raiz3

Resposta

(a) A curva r=3costheta é um círculo de raio 3/2 centrado em (3/2,0);
a curva r=2-costheta é uma limaçon convexa, com “dente” voltado para a esquerda.
(b) A área da região interna comum é
boxedA = 9pi4 ;-; 3raiz3

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