Use o Critério das Séries Alternadas para provar que as séries dadas abaixo são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série alternada
é convergente usando o Critério das Séries Alternadas (ou Teste de Leibniz). Para isso, vamos definir
e verificar duas coisas:
-
é positiva e decrescente. -
.
Passo 2
Verificamos que
para todo
, pois no numerador temos
e no denominador
. Logo,
Passo 3
Mostramos que
é decrescente, ou seja,
. Considere a diferença
No numerador combinamos em comum denominador:
Como para todo
vale
, segue
. Portanto
, e
é decrescente.
Passo 4
Calculamos o limite de
quando
. Como o grau do denominador (
) é maior que o do numerador (
), temos
Passo 5
Aplicando o Critério das Séries Alternadas (Leibniz), concluímos que, por
,
decrescente e
, a série
converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Critério das Séries Alternadas.