Use o Critério das Séries Alternadas para provar que as séries dadas abaixo são convergentes.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n+2n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1,n+2n^2+1
é convergente usando o Critério das Séries Alternadas (ou Teste de Leibniz). Para isso, vamos definir
bn = n+2n^2+1,
e verificar duas coisas:
  1. bn é positiva e decrescente.
  2. limntoinftybn=0.

Passo 2

Verificamos que bn>0 para todo n>=1, pois no numerador temos n+2>0 e no denominador n^2+1>0. Logo,
bn = n+2n^2+1>0

Passo 3

Mostramos que (bn) é decrescente, ou seja, bn+1<bn. Considere a diferença
bn - bn+1 = n+2n^2+1 ;-;n+3(n+1)^2+1
No numerador combinamos em comum denominador:
(n+2)l(n^2+2n+2r);-;(n+3)l(n^2+1r) = l(n^3+4n^2+6n+4r);-;l(n^3+3n^2+n+3r) = n^2+5n+1
Como para todo n>=1 vale n^2+5n+1>0, segue bn-bn+1>0. Portanto bn+1<bn, e (bn) é decrescente.

Passo 4

Calculamos o limite de bn quando ntoinfty. Como o grau do denominador ( 2) é maior que o do numerador ( 1), temos
limntoinftybn = limntoinftyn+2n^2+1 = 0

Passo 5

Aplicando o Critério das Séries Alternadas (Leibniz), concluímos que, por bn>0, (bn) decrescente e lim bn=0, a série
sumn=1^infty(-1)^n-1bn
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1n+2n^2+1 é convergente pelo Critério das Séries Alternadas.

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