Considere a curva cuja equação em coordenadas polares é r=1+2 sen theta.
(a) Esboce a curva.
(b) Encontre a equação cartesiana das retas tangentes à curva no pólo.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 1 + 2sintheta
e pede:
(a) esboçar essa curva;
(b) achar as equações cartesianas das retas tangentes à curva no pólo (isto é, onde r=0).
Para resolver iremos usar:
  • O comportamento de r(theta) em ângulos-chave para esboçar o limacon (alça interna).
  • O fato de que, quando r(theta0)=0, a reta tangente no pólo tem direção theta=theta0.

Passo 2

Esboço da curva:
  1. Calcule r nos ângulos principais: theta=0&:;r=1+2sin0=1, theta=tfracpi2&:;r=1+2sintfracpi2=3, theta=pi&:;r=1+2sinpi=1, theta=tfrac3pi2&:;r=1+2sintfrac3pi2=1-2=-1
  2. Resolva r=0 para localizar o início e fim da alça interna: 1+2sintheta=0;Longrightarrow;sintheta=-tfrac12 ;Longrightarrow;theta=tfrac7pi6,;tfrac11pi6
  3. Para theta entre tfrac7pi6 e tfrac11pi6, r fica negativo, gerando a alça interna voltada para o lado oposto do ângulo.
  4. Com esses pontos e o formato padrão de limaçon com alça interna (pois tfrac12<1), esboçamos o laço interno entre theta=7pi/6 e 11pi/6 e a parte externa para os demais theta.

Passo 3

Encontrar os ângulos onde o raio zera (intersecção com o pólo):
1+2sintheta=0 Longrightarrow sintheta=-tfrac12 Longrightarrow theta1=tfrac7pi6,; theta2=tfrac11pi6

Passo 4

Retas tangentes no pólo:
Para cada thetai com r=0, a reta tangente tem equação polar theta=thetai. Em coordenadas cartesianas, theta=thetai vira
yx=tanthetai
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tan!l(tfrac7pi6r) =tan!l(pi+tfracpi6r) =tantfracpi6 =tfrac1raiz3,
tan!l(tfrac11pi6r) =tan!l(2pi-tfracpi6r) =-tantfracpi6 =-tfrac1raiz3

Resposta

As retas tangentes à curva no pólo são
y = 1raiz3,x e y = -1raiz3,x

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