Considere a curva cuja equação em coordenadas polares é
.
(a) Esboce a curva.
(b) Encontre a equação cartesiana das retas tangentes à curva no pólo.
(a) Esboce a curva.
(b) Encontre a equação cartesiana das retas tangentes à curva no pólo.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede:
(a) esboçar essa curva;
(b) achar as equações cartesianas das retas tangentes à curva no pólo (isto é, onde ).
(a) esboçar essa curva;
(b) achar as equações cartesianas das retas tangentes à curva no pólo (isto é, onde
Para resolver iremos usar:
- O comportamento de
em ângulos-chave para esboçar o limacon (alça interna). - O fato de que, quando
, a reta tangente no pólo tem direção .
Passo 2
Esboço da curva:
- Calcule
nos ângulos principais: - Resolva
para localizar o início e fim da alça interna: - Para
entre e , fica negativo, gerando a alça interna voltada para o lado oposto do ângulo. - Com esses pontos e o formato padrão de limaçon com alça interna (pois
), esboçamos o laço interno entre e e a parte externa para os demais .
Passo 3
Encontrar os ângulos onde o raio zera (intersecção com o pólo):
Passo 4
Retas tangentes no pólo:
Para cada com
, a reta tangente tem equação polar
. Em coordenadas cartesianas,
vira
Para cada
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Resposta
As retas tangentes à curva no pólo são