Considere as curvas dadas em coordenadas polares
r=2 cos theta, r=1
(b) Encontre a área da região que está DENTRO de ambas as curvas.

Passo 1

A questão pede a área da região comum às curvas em coordenadas polares r=2\cosθ e r=1. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula A=tfrac12integral r^2,dθ, além de achar os ângulos de interseção.

Passo 2

Primeiro encontramos onde as curvas se interceptam: igualamos r=1 a r=2\cosθ, ou seja, 1=2\cosθ. Daí cosθ=tfrac12, logo θ=±tfracpi3. Esses são os limites onde as duas fronteiras se cruzam.

Passo 3

Para determinar qual curva limita por dentro, observamos o valor de 2\cosθ em função de θ. No intervalo [-tfracpi3,tfracpi3], temos 2cosθ>=1, então a curva r=1 fica por dentro. Em [tfracpi3,tfracpi2] e [-tfracpi2,-tfracpi3], em que 2cosθ<1, a curva r=2\cosθ limita a região.

Passo 4

Montamos a integral de área como
A=12integral-tfracpi2^tfracpi2l(min1,,2cosθr)^2,dθ
Que se separa em três partes: de -tfracpi2 a -tfracpi3 e de tfracpi3 a tfracpi2 usamos r=2\cosθ; e de -tfracpi3 a tfracpi3 usamos r=1.

Passo 5

Calculamos cada parte. Pela simetria, as duas dos extremos dão
2integralpi/3^pi/2tfrac12,(2cosθ)^2,dθ =4integralpi/3^pi/2cos^2θ,dθ =4integralpi/3^pi/21+cos2θ2,dθ =2l[θ+tfrac12sin2θr]pi/3^pi/2 =pi3-raiz32
E a parte do meio é simplesmente
integral-pi/3^pi/3tfrac12,1^2,dθ=12cdot2pi3=pi3

Passo 6

Somando as contribuições, a área comum vale
l(pi3-raiz32r)+pi3=2pi3-raiz32

Resposta

2pi3-raiz32

Exercícios relacionados