Considere as curvas dadas em coordenadas polares
(b) Encontre a área da região que está DENTRO de ambas as curvas.
Passo 1
A questão pede a área da região comum às curvas em coordenadas polares r=2\cosθ e r=1. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula
, além de achar os ângulos de interseção.
Passo 2
Primeiro encontramos onde as curvas se interceptam: igualamos r=1 a r=2\cosθ, ou seja, 1=2\cosθ. Daí
, logo
. Esses são os limites onde as duas fronteiras se cruzam.
Passo 3
Para determinar qual curva limita por dentro, observamos o valor de 2\cosθ em função de θ. No intervalo
, temos
, então a curva r=1 fica por dentro. Em
e
, em que
, a curva r=2\cosθ limita a região.
Passo 4
Montamos a integral de área como
Que se separa em três partes: de
a
e de
a
usamos r=2\cosθ; e de
a
usamos r=1.
Passo 5
Calculamos cada parte. Pela simetria, as duas dos extremos dão
E a parte do meio é simplesmente
Passo 6
Somando as contribuições, a área comum vale