Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Onde $ f(t) = 4 \delta(t-1) + M_{2}(T) T $ para $ T \geq 0
\delta(t-1) $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ y’’ = f(t) $ significa que a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo $ t $ é igual a $ f(t) $. Para encontrar $ y(t) $, precisamos integrar $ f(t) $ duas vezes.
Passo 3
Vamos integrar $ y’’ = f(t) $ uma vez para encontrar $ y’ $:
Substituindo $ f(t) $:
Passo 4
Integramos termo a termo:
- A integral de $ 4 \delta(t-1) $ é $ 4 H(t-1) $, onde $ H(t-1) $ é a função de Heaviside, que é 0 para $ t < 1 $ e 1 para $ t \geq 1 $.
- A integral de $ M_{2}(T) T $ com respeito a $ t $ será $ \frac{M_{2}(T)}{2} T^2 $.
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Para $ t < 1 $, $ H(t-1) = 0 $, então:
Então, $ C = 1 $.
Passo 6
Substituímos $ C = 1 $ na expressão para $ y’(t) $:
Passo 7
Agora, integramos $ y’(t) $ para encontrar $ y(t) $:
Onde $ D $ é outra constante de integração.
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de $ 4 H(t-1) $ é $ 4 (t-1) H(t-1) $.
- A integral de $ \frac{M_{2}(T)}{2} T^2 $ é $ \frac{M_{2}(T)}{6} T^3 $.
- A integral de $ 1 $ é $ t $.
Então,
Passo 9
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ D $:
Para $ t = 0 $, $ H(t-1) = 0 $, então:
Passo 10
Substituímos $ D = 1 $ na expressão para $ y(t) $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: