lf^(t)=4 de= 0 y^prime prime=f(t), y(0)=1 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' = f(t), y(0) = 1; y'(0) = 1
Onde $ f(t) = 4 \delta(t-1) + M_{2}(T) T $ para $ T \geq 0 f(t) = 4 deçõçõçõçã \delta(t-1) $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ y’’ = f(t) $ significa que a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo $ t $ é igual a $ f(t) $. Para encontrar $ y(t) $, precisamos integrar $ f(t) $ duas vezes.

Passo 3

Vamos integrar $ y’’ = f(t) $ uma vez para encontrar $ y’ $:
y'' = f(t)
Substituindo $ f(t) $:
y'

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. A integral de $ 4 \delta(t-1) $ é $ 4 H(t-1) $, onde $ H(t-1) $ é a função de Heaviside, que é 0 para $ t < 1 $ e 1 para $ t \geq 1 $.
  2. A integral de $ M_{2}(T) T $ com respeito a $ t $ será $ \frac{M_{2}(T)}{2} T^2 $.
Então,
4 de

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Para $ t < 1 $, $ H(t-1) = 0 $, então:
y'(0) = 1
Então, $ C = 1 $.

Passo 6

Substituímos $ C = 1 $ na expressão para $ y’(t) $:
C = 1

Passo 7

Agora, integramos $ y’(t) $ para encontrar $ y(t) $:
y'(t)
Onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de $ 4 H(t-1) $ é $ 4 (t-1) H(t-1) $.
  2. A integral de $ \frac{M_{2}(T)}{2} T^2 $ é $ \frac{M_{2}(T)}{6} T^3 $.
  3. A integral de $ 1 $ é $ t $.
Então,
4 H(t-1)

Passo 9

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ D $:
Para $ t = 0 $, $ H(t-1) = 0 $, então:
y(0) = 1

Passo 10

Substituímos $ D = 1 $ na expressão para $ y(t) $:
D = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 4 (t-1) H(t-1) + M2(T)6 T^3 + t + 1

Exercícios relacionados