Seja dado o campo
e seja
onde
é a porção do cilindro
entre os planos
e
com normal apontando para fora e
é a porção do plano
interna ao cilindro
com normal
tal que
Calcule
Escolha uma opção:
0
Calcule
Escolha uma opção:
0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo vetorial
definido por:
E queremos calcular a integral de fluxo desse campo sobre a superfície
, que é a união de uma parte de cilindro (
) e uma parte de plano (
). A integral que precisamos achar é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar esse teorema para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, a integral de fluxo sobre a superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
que está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
, que é
.
Para o nosso campo
:
onde
.
A divergência em coordenadas cartesianas é:
Calculando cada derivada:
Somando tudo:
Então, a divergência de
é zero em todo lugar exceto na origem, onde o campo é singular (ou seja, não está definido).
Passo 4
Como a divergência de
é zero em todo lugar exceto na origem, podemos aplicar o Teorema da Divergência. Precisamos verificar se a origem está dentro do volume
delimitado pela superfície
.
No enunciado,
é a parte do cilindro
entre os planos
e
. A origem
está nessa região porque:
- No plano
, , e . - A origem satisfaz
.
Portanto, a origem está dentro do volume
, e a divergência não nula contribui para a integral.
Passo 5
Já que a divergência é zero em todo lugar dentro de
exceto na origem, podemos considerar que a única contribuição para a integral vem da origem. A divergência de
na origem pode ser tratada usando a função delta de Dirac, e sabemos que:
Esse é um resultado clássico para campos como o nosso, que se comportam como campos de dipolo ou monopolo em física.