Seja dado o campo
F(x, y, z,)=x(x^2+y^2+z^2)^32 i+y(x^2+y^2+z^2)^32 j+z(x^2+y^2+z^2)^32 k
e seja S=S1 cup S2 onde S1 é a porção do cilindro x^2+y^2=4 entre os planos z=0 e x+z=3 com normal apontando para fora e S2 é a porção do plano x+z=3 interna ao cilindro x^2+y^2=4 com normal n tal que n cdot k>0
Calcule integral duplaS F cdot n d S
Escolha uma opção:
pi
0
4 pi
3 pi
2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo vetorial F definido por:
F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^32 i+y(x^2+y^2+z^2)^32 j+z(x^2+y^2+z^2)^32 k
E queremos calcular a integral de fluxo desse campo sobre a superfície S, que é a união de uma parte de cilindro ( S1) e uma parte de plano ( S2). A integral que precisamos achar é:
integral duplaS F cdot n , dS
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar esse teorema para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de fluxo sobre a superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V que está dentro de S.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F, que é nabla cdot F.
Para o nosso campo F:
F = xr^3 i + yr^3 j + zr^3 k
onde r = raizx^2 + y^2 + z^2.
A divergência em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot F = partialpartial x(xr^3) + partialpartial y(yr^3) + partialpartial z(zr^3)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(xr^3) = 1r^3 - 3x^2r^5
partialpartial y(yr^3) = 1r^3 - 3y^2r^5
partialpartial z(zr^3) = 1r^3 - 3z^2r^5
Somando tudo:
nabla cdot F = 3r^3 - 3(x^2 + y^2 + z^2)r^5 = 3r^3 - 3r^2r^5 = 0
Então, a divergência de F é zero em todo lugar exceto na origem, onde o campo é singular (ou seja, não está definido).

Passo 4

Como a divergência de F é zero em todo lugar exceto na origem, podemos aplicar o Teorema da Divergência. Precisamos verificar se a origem está dentro do volume V delimitado pela superfície S = S1 cup S2.
No enunciado, S1 é a parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 entre os planos z = 0 e x + z = 3. A origem (0, 0, 0) está nessa região porque:
  • No plano z = 0, x = 0, e 0^2 + 0^2 = 0 <= 4.
  • A origem satisfaz x + z = 0 + 0 = 0 <= 3.
Portanto, a origem está dentro do volume V, e a divergência não nula contribui para a integral.

Passo 5

Já que a divergência é zero em todo lugar dentro de V exceto na origem, podemos considerar que a única contribuição para a integral vem da origem. A divergência de F na origem pode ser tratada usando a função delta de Dirac, e sabemos que:
integral triplaV nabla cdot F , dV = 4pi
Esse é um resultado clássico para campos como o nosso, que se comportam como campos de dipolo ou monopolo em física.

Resposta

4 pi

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