lf^(t)=4 de= 0 y^prime prime=f(T), y(0)=1 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' = f(T)
com as condições iniciais:
y(0) = 1 e y'(0) = 1
A função $ f(T) $ é dada por:
f(T)
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, especialmente envolvendo funções como a função delta de Dirac ($ \delta f(T) = 4 de= 0 çã \mu $). Nosso objetivo é encontrar a solução para $ y(T) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cada parte da função $ f(T) $:
  • Função Delta de Dirac ($ \delta(T - 1) $): Essa função é zero em todos os lugares, exceto em $ T = 1 $, onde ela “explode” de tal forma que sua integral é 1. Ela é usada para representar impulsos instantâneos.
  • Função Degrau de Heaviside ($ \mu_{2}(T) $): Essa função é zero para $ T < 2 $ e igual a 1 para $ T \geq 2 $. Serve para “ativar” ou “desativar” partes da função dependendo do valor de $ T $.
Então, nossa função $ f(T) $ tem dois componentes: um impulso em $ T = 1 $ e uma parte que começa a existir a partir de $ T = 2 $.

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ = f(T) $. Para isso, precisamos integrar duas vezes para encontrar $ y(T) $.
Primeira integração:
y'' = f(T)
A integral de $ y’’(T) $ nos dá $ y’(T) $, adicionando uma constante de integração $ C_1 $.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
y'(T) = 4 integral de
Sabemos que:
integral de
onde $ H(T - 1) $ é a função degrau de Heaviside deslocada. Então:
H(T - 1)
Para a segunda integral:
4 integral de
Então, a derivada de $ y $ fica:
integral mu2(T) cdot T , dT = integral2^T t , dt = 12T^2 mu2(T)

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar $ C_1 $. Sabemos que $ y’(0) = 1 $.
Substituindo $ T = 0 $ na expressão de $ y’(T) $:
C1
Sabemos que $ H(-1) = 0 $ e $ \mu_{2}(0) = 0 $, então:
y'(0) = 1
Então, a expressão de $ y’(T) $ fica:
T = 0

Passo 6

Agora, vamos integrar novamente para encontrar $ y(T) $:
y(T)
Isso nos dá:
y(T) = integral y'(T) , dT = integral (4 H(T - 1) + 12 T^2 mu2(T) + 1) dT

Passo 7

Calculando cada integral:
  1. Integral de $ H(T - 1) $:
H(T - 1)
  1. Integral de $ T^2 \mu_{2}(T) $:
integral H(T - 1) , dT = (T - 1) H(T - 1)
  1. Integral de 1:
T^2 mu2(T)
Então, juntando tudo:
12 integral T^2 mu2(T) , dT = 12 cdot 13 T^3 mu2(T) = 16 T^3 mu2(T)

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C_2 $.
Substituindo $ T = 0 $:
y(0) = 1
Sabemos que $ H(-1) = 0 $ e $ \mu_{2}(0) = 0 $, então:
C2
Então, a expressão final de $ y(T) $ é:
T = 0

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(T) = 4 (T - 1) H(T - 1) + 16 T^3 mu2(T) + T + 1

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