Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
A função $ f(T) $ é dada por:
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, especialmente envolvendo funções como a função delta de Dirac ($ \delta
\mu $). Nosso objetivo é encontrar a solução para $ y(T) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é cada parte da função $ f(T) $:
-
Função Delta de Dirac ($ \delta(T - 1) $): Essa função é zero em todos os lugares, exceto em $ T = 1 $, onde ela “explode” de tal forma que sua integral é 1. Ela é usada para representar impulsos instantâneos.
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Função Degrau de Heaviside ($ \mu_{2}(T) $): Essa função é zero para $ T < 2 $ e igual a 1 para $ T \geq 2 $. Serve para “ativar” ou “desativar” partes da função dependendo do valor de $ T $.
Então, nossa função $ f(T) $ tem dois componentes: um impulso em $ T = 1 $ e uma parte que começa a existir a partir de $ T = 2 $.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ = f(T) $. Para isso, precisamos integrar duas vezes para encontrar $ y(T) $.
Primeira integração:
A integral de $ y’’(T) $ nos dá $ y’(T) $, adicionando uma constante de integração $ C_1 $.
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral:
Sabemos que:
onde $ H(T - 1) $ é a função degrau de Heaviside deslocada. Então:
Para a segunda integral:
Então, a derivada de $ y $ fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar $ C_1 $. Sabemos que $ y’(0) = 1 $.
Substituindo $ T = 0 $ na expressão de $ y’(T) $:
Sabemos que $ H(-1) = 0 $ e $ \mu_{2}(0) = 0 $, então:
Então, a expressão de $ y’(T) $ fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar novamente para encontrar $ y(T) $:
Isso nos dá:
Passo 7
Calculando cada integral:
- Integral de $ H(T - 1) $:
- Integral de $ T^2 \mu_{2}(T) $:
- Integral de 1:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C_2 $.
Substituindo $ T = 0 $:
Sabemos que $ H(-1) = 0 $ e $ \mu_{2}(0) = 0 $, então:
Então, a expressão final de $ y(T) $ é:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: