Considere as curvas dadas em coordenadas polares
r=2 cos theta, r=1
(a) Encontre as equações cartesianas das curvas e faça um esboço de ambas as curvas no cixo polar.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares: r=2
cós
θ e r=1. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas polares para cartesianas usando x=r
cós
θ, y=r
sin
θ e r²=x²+y², e depois esboçar cada curva no plano polar.

Passo 2

Para r=2
cós
θ: a gente usa cos
cós
θ = x∕r. Então r=2
(x∕r). Multiplicando ambos os lados por r:
r^2=2x
Como r² = x²+y²,
x^2+y^2=2x
Agora completamos o quadrado em x:
x^2-2x+1+y^2=1
(x-1)^2+y^2=1
Logo, r=2
cós
θ é a circunferência de raio 1 e centro em (1,0).

Passo 3

Para r=1: elevando ao quadrado, r²=1, portanto
x^2+y^2=1
que é a circunferência de raio 1 e centro na origem.

Passo 4

No esboço polar, desenhamos a circunferência unidade centrada na origem (r=1) e a circunferência de raio 1 centrada em (1,0) (r=2
cós
θ), que toca a origem e fica “de lado” ao longo do eixo θ=0.

Resposta

As equações cartesianas são (x−1)²+y²=1 para r=2 cos θ e x²+y²=1 para r=1. No plano polar temos duas circunferências de raio 1: uma centrada na origem e outra centrada em (1,0).

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