( 0,5 pts cada) Determine
g^prime(t) para g(t)=tan (5-sen 2 t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ g(t) = \tan(5 - \sin 2t) $ e precisamos encontrar sua derivada $ g’(t) $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas, especificamente a regra da cadeia.

Passo 2

A função $ g(t) $ é uma função composta, onde a função externa é a tangente ($ \tan $) e a função interna é $ 5 - \sin 2t $. Para derivar $ g(t) $, precisamos primeiro derivar a função externa em relação à função interna e depois multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa $ \tan(u) $, onde $ u = 5 - \sin 2t $. A derivada de $ \tan(u) $ em relação a $ u $ é $ \sec^2(u) $. Então, temos:
tan(u)

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna $ u = 5 - \sin 2t $ em relação a $ t $. A derivada de $ 5 $ é 0 e a derivada de $ -\sin 2t $ é $ -2\cos 2t $ (usando a regra da cadeia para derivar $ \sin 2t $). Portanto:
u = 5 - sin 2t

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ g(t) $ é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna:
g(t)

Resposta

A derivada de $ g(t) $ é:
g(t)

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