9- Considere as curvas planas dadas por y^wed>= 2=32 x^wed>= 5-48 x^wed>= 4+16 x^wed>= 3+5824 x^wed>= 2-8694 x+2895
y=a x^wed>= 3+b x^wed>= 2+c x+d
para certos coeficientes a, b, c, d in R. Encontre os valores de a, b, c, d para que estas duas curvas se tangenciam nos pontos P=(12,2) e Q=(1,5).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio cúbico
y = a x^3 + b x^2 + c x + d
que seja tangente à curva
y^2 = 32 x^5 -48 x^4 +16 x^3 +5824 x^2 -8694 x +2895
nos pontos P=(12,2) e Q=(1,5).
Para que haja tangência em P e Q, esses pontos devem satisfazer a equação da primeira curva (interseção) e ter derivadas iguais em cada ponto.

Passo 2

Verifique se P e Q pertencem à curva implícita, isto é, se ao substituir as coordenadas em
y^2 ;=; 32 x^5 -48 x^4 +16 x^3 +5824 x^2 -8694 x +2895
a igualdade fica válida.

Passo 3

Para Q=(1,5):
32cdot1^5 -48cdot1^4 +16cdot1^3 +5824cdot1^2 -8694cdot1 +2895 =32 -48 +16 +5824 -8694 +2895 =25
e 5^2=25. Logo Q está na curva.
Para P=(12,2):
32cdot12^5 -48cdot12^4 +16cdot12^3 +5824cdot12^2 -8694cdot12 +2895 =7,732,167
mas 2^2=4. Como 4neq7,732,167, o ponto P não satisfaz a equação da curva.

Passo 4

Como P não pertence à curva implícita, não existe polinômio cúbico que seja tangente a essa curva em P=(12,2). Portanto, o enunciado está mal formulado e não há solução para (a,b,c,d).

Resposta

Não existe solução, pois P=(12,2) não pertence à curva y^2=32x^5-48x^4+16x^3+5824x^2-8694x+2895.

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