1^a Questão ( 6 pts) Calcule a inclinação da reta tangente à curva definida pela equação
x y-y^2=ln (x y)
no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
x y - y^2 = ln(x y)
e pede a inclinação da reta tangente em (1,1). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando derivada de função composta e logarítmica.

Passo 2

Para aplicar diferenciação implícita, reescrevemos a equação em forma de F(x,y)=0. Definimos
F(x,y)=x y - y^2 - ln(x y)
e, como F(x,y(x))=0 para pontos da curva, temos
partial Fpartial x + partial Fpartial y,y' = 0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Fpartial x = partialpartial x(x y) ;-;partialpartial x(y^2);-;partialpartial xl(ln(x y)r) = y ;-; 0 ;-; 1x y,y = y - 1x,
partial Fpartial y = partialpartial y(x y);-;partialpartial y(y^2);-;partialpartial yl(ln(x y)r) = x ;-; 2y ;-; 1x y,x = x - 2y - 1y

Passo 4

Da equação
partial Fpartial x + partial Fpartial y,y' = 0
vem
y' = -partial Fpartial xpartial Fpartial y
No ponto (1,1) temos
partial Fpartial x(1,1)=1 - 1 = 0, partial Fpartial y(1,1)=1 - 2 - 1 = -2,
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y'(1,1) = -0-2 = 0

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva em (1,1) é 0.

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