Considere as curvas r=2 sen theta e r=2 cos theta. Prove que elas se intersectam formando um ângulo reto;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as curvas polares
r=2sintheta
e
r=2costheta
se cruzam formando um ângulo de 90^circ. O conteúdo envolve conversão para coordenadas cartesianas, identificação de círculos, localização do ponto de interseção e análise da ortogonalidade das tangentes nesse ponto.

Passo 2

Conversons as equações para o plano cartesiano. Como x=rcostheta e y=rsintheta, de r=2sintheta vem
r = 2yr Longrightarrow r^2 = 2y Longrightarrow x^2+y^2-2y=0 Longrightarrow x^2+(y-1)^2=1,
isto é, um círculo de centro C1=(0,1) e raio 1. De modo análogo, de r=2costheta obtemos
r^2 = 2x Longrightarrow x^2+y^2-2x=0 Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1,
um círculo de centro C2=(1,0) e raio 1.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção resolvemos
x^2+y^2=2y e x^2+y^2=2x Longrightarrow 2y=2x ;Rightarrow; y=x
Substituindo em x^2+y^2=2x
2x^2 = 2x Longrightarrow x(x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1
O ponto (0,0) não corresponde a mesma theta em ambas as curvas, então o cruzamento relevante é
P=(1,1)

Passo 4

Em cada círculo o vetor normal no ponto de contato é o vetor que vai do centro ao ponto. Assim, em P temos
C1P = (1-0,,1-1) = (1,0), C2P = (1-1,,1-0) = (0,1)
Como
C1PcdotC2P =1cdot0 + 0cdot1 = 0,
esses vetores são perpendiculares. Como a reta tangente em cada círculo é perpendicular ao respectivo vetor normal, as tangentes se cruzam com ângulo de 90^circ.

Resposta

As curvas se intersectam em (1,1) formando um ângulo reto.

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