Considere as curvas e . Prove que elas se intersectam formando um ângulo reto;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as curvas polares
e
se cruzam formando um ângulo de . O conteúdo envolve conversão para coordenadas cartesianas, identificação de círculos, localização do ponto de interseção e análise da ortogonalidade das tangentes nesse ponto.
Passo 2
Conversons as equações para o plano cartesiano. Como e , de vem
isto é, um círculo de centro e raio . De modo análogo, de obtemos
um círculo de centro e raio .
Passo 3
Para achar o ponto de interseção resolvemos
Substituindo em dá
O ponto não corresponde a mesma em ambas as curvas, então o cruzamento relevante é
Passo 4
Em cada círculo o vetor normal no ponto de contato é o vetor que vai do centro ao ponto. Assim, em temos
Como
C1PcdotC2P =1cdot0 + 0cdot1 = 0,
esses vetores são perpendiculares. Como a reta tangente em cada círculo é perpendicular ao respectivo vetor normal, as tangentes se cruzam com ângulo de 90^circ.
Resposta
As curvas se intersectam em (1,1) formando um ângulo reto.