Investigue se a série
sumn=2^infty e^-arctg(n)-ln (n)n^2+1
converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=2^infty e^-arctg(n)-ln(n)n^2+1
Vamos usar comparação assintótica (teste da comparação limite) com uma série p-série de parâmetro p.

Passo 2

Observe que, para cada n,
e^-arctg(n)-ln(n) = e^-arctg(n);e^-ln(n) = e^-arctg(n)n
Logo o termo geral da série é
an = e^-arctg(n)n,(n^2+1)

Passo 3

Para fazer a comparação assintótica, note que quando ntoinfty temos arctg(n)to tfracpi2 e também
n^2n^2+1longrightarrow 1
Assim
an = e^-arctg(n)n,(n^2+1) = e^-arctg(n)n^3;n^2n^2+1 sim e^-pi/2n^3

Passo 4

Aplique o teste da comparação por limite com bn=1/n^3. Calcule
L =limntoinftyanbn =limntoinftygl(e^-arctg(n);n^2n^2+1gr) =e^-pi/2cdot 1 =e^-pi/2>0
Como sum bn=sum1/n^3 é convergente ( p=3>1) e 0<L<infty, pelo teste a série sum an também converge.

Resposta

A série converge.

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