Esboce as curvas r=3 cos theta e r=3(1+cos theta) e calcule a área limitada por elas.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas em coordenadas polares
r=3costheta
e
r=3(1+costheta)
e, em seguida, calcular a área do “anel” limitado por essas duas curvas. O conteúdo necessário é o uso da fórmula de área em coordenadas polares e a comparação de qual curva fica “mais externa” em cada ângulo.

Passo 2

Vamos identificar cada curva.
  1. r=3costheta é o círculo de equação cartesiana
r^2 = 3rcostheta Longrightarrow x^2+y^2=3x,
isto é, um círculo de centro (3/2,0) e raio 3/2.
2. r=3(1+costheta) é um cardioide com “cúspide” em theta=pi e valor máximo r=6 em theta=0.

Passo 3

Para saber como fica a região entre elas, comparamos
rrm cardioide-rrm círculo =3(1+costheta)-3costheta=3>0 í
para todo theta. Logo, em cada direção theta, o valor de r do cardioide é sempre maior que o do círculo. O círculo está inteiramente contido dentro do cardioide.

Passo 4

Na forma polar, a área do anel entre as curvas de raio interno r1(theta) e externo r2(theta) é
A=12integraltheta1^theta2l[r2(theta)^2-r1(theta)^2r],dtheta
Aqui, o círculo em polar só existe (com r>=0) quando costheta>=0, ou seja para thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Portanto, o “anel” está definido para esse intervalo, com
r1(theta)=3costheta, r2(theta)=3(1+costheta), thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]

Passo 5

Substituindo na fórmula:
A =12integral-pi/2^pi/2l[,l(3(1+costheta)r)^2-l(3costhetar)^2r]dtheta =12integral-pi/2^pi/29l(1+2costheta+cos^2theta-cos^2thetar)dtheta
=92integral-pi/2^pi/2l(1+2costhetar)dtheta =92l[theta+2sinthetar]-pi/2^pi/2

Passo 6

Calculando o valor numérico:
l[theta+2sinthetar]-pi/2^pi/2 =l(tfracpi2+2cdot1r)-l(-tfracpi2+2cdot(-1)r) =pi+4
Logo,
A=92(pi+4) =9pi2+18

Resposta

A=9pi2+18

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