Esboce as curvas
e
e calcule a área limitada por elas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas em coordenadas polares
e
e, em seguida, calcular a área do “anel” limitado por essas duas curvas. O conteúdo necessário é o uso da fórmula de área em coordenadas polares e a comparação de qual curva fica “mais externa” em cada ângulo.
Passo 2
Vamos identificar cada curva.
-
é o círculo de equação cartesiana
isto é, um círculo de centro
e raio
.
2. é um cardioide com “cúspide” em
e valor máximo
em
.
2.
Passo 3
Para saber como fica a região entre elas, comparamos
para todo
. Logo, em cada direção
, o valor de
do cardioide é sempre maior que o do círculo. O círculo está inteiramente contido dentro do cardioide.
Passo 4
Na forma polar, a área do anel entre as curvas de raio interno
e externo
é
Aqui, o círculo em polar só existe (com
) quando
, ou seja para
. Portanto, o “anel” está definido para esse intervalo, com
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Logo,