Exercício 20. (Apostol, capítulo 7.17, exercício 2)
a) Prove que a solução do sistema
Y^prime(t)=A Y(t)+C, Y(a)=B
é dada por
Y(t)=e^(t-a) A B+(integrala^t e^s A d s) C
b) Prove que se A for uma matriz inversível, então integrala^t e^s A d s=(e^(t-a) A-I) A^-1.
c) Calcule Y(t) explicitamente quando
A=(ll -1 & 2 -2 & 3 ), C=binom12, B=binombc, a=0

Passo 1

O enunciado trata de resolver o sistema linear não homogêneo de equações diferenciais matriciais
Y'(t)=A,Y(t)+C, Y(a)=B,
onde A é uma matriz constante, B e C são vetores constantes e a é o tempo inicial.
O conteúdo principal é o uso da exponencial matricial exp(tA) e do método de variação de constantes para sistemas.

Passo 2

Vamos aplicar o método de variação de constantes. Definimos
Y(t)=e^(t-a)A,U(t)
Então
Y'(t)=A,e^(t-a)AU(t)+e^(t-a)AU'(t)
Como Y'(t)=A,Y(t)+C=A,e^(t-a)AU(t)+C, comparando termos obtemos
e^(t-a)AU'(t)=C Longrightarrow U'(t)=e^-(t-a)AC
Integrando desde a até t e usando U(a)=B (já que Y(a)=e^0U(a)=B), temos
U(t)=B+integrala^te^-(s-a)AC,ds
Substituindo em Y(t)=e^(t-a)AU(t) e trocando a ordem em que aparece o parâmetro de integração, chega-se a
Y(t)=e^(t-a)AB+integrala^te^(t-s)AC,ds =e^(t-a)AB+l(integrala^te^sAdsr)C

Passo 3

Para a parte (b), suponha que A seja inversível. Observe que
ddsl(e^sAr)=A,e^sA Longrightarrow e^sA=A^-1ddsl(e^sAr)
Integrando de s=a até s=t
integrala^te^sAds =A^-1l[e^sAr]s=a^s=t =A^-1l(e^tA-e^aAr) =A^-1l(e^(t-a)A-Ir)

Passo 4

Agora (c): temos
Note que , , logo o polinômio característico é . Escrevemos
e constatamos . Assim

Passo 5

Precisamos também de integral0^te^sAds. Usando a expressão acima, temos
e^sA =e^s1-2s&2s-2s&1+2s,
e as integrais básicas
integral0^te^sds=e^t-1, integral0^ts,e^sds=(t-1)e^t+1
Fazendo as combinações de entradas resulta
integral0^te^sAds = e^t(3-2t)-3 & 2(t-1)e^t+2[6pt] -2(t-1)e^t-2 & e^t(2t-1)+1
Finalmente,
Y(t)=e^tAB+l(!!integral0^te^sAdsr)C
Calculando cada componente:
e^tAB =e^t(1-2t)b+2t,c-2t,b+(1+2t)c, l(!!integral0^te^sAdsr)C =e^t(2t-1)+12t,e^t
Logo
Y(t) = e^tl[(1-2t)b+2t,cr]+e^t(2t-1)+1[4pt] e^tl[-2t,b+(1+2t)cr]+2t,e^t ]

Resposta

boxed Y(t) = e^tl[(1-2t)b+2t,c+2t-1r]+1[4pt] e^tl[-2t,b+(1+2t)c+2tr] ]

Exercícios relacionados