Exercício 20. (Apostol, capítulo 7.17, exercício 2)
a) Prove que a solução do sistema
é dada por
b) Prove que se for uma matriz inversível, então .
c) Calcule explicitamente quando
Passo 1
O enunciado trata de resolver o sistema linear não homogêneo de equações diferenciais matriciais
Y'(t)=A,Y(t)+C, Y(a)=B,
onde A é uma matriz constante, B e C são vetores constantes e a é o tempo inicial.
O conteúdo principal é o uso da exponencial matricial exp(tA) e do método de variação de constantes para sistemas.
Passo 2
Vamos aplicar o método de variação de constantes. Definimos
Y(t)=e^(t-a)A,U(t)
Então
Y'(t)=A,e^(t-a)AU(t)+e^(t-a)AU'(t)
Como Y'(t)=A,Y(t)+C=A,e^(t-a)AU(t)+C, comparando termos obtemos
e^(t-a)AU'(t)=C Longrightarrow U'(t)=e^-(t-a)AC
Integrando desde a até t e usando U(a)=B (já que Y(a)=e^0U(a)=B), temos
U(t)=B+integrala^te^-(s-a)AC,ds
Substituindo em Y(t)=e^(t-a)AU(t) e trocando a ordem em que aparece o parâmetro de integração, chega-se a