Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T(x, y, z)=(2 x-y, x+y+z, 3 x+z)
(a) T é injetora? Justifique usando \operatorname{Ker} T.
(b) T é sobrejetora? Justifique usando \operatorname{Im} T.
(c) Confira que \operatorname{dim} \operatorname{Ker} T+\operatorname{dim} \operatorname{Im} T=3.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(2x-y,\;x+y+z,\;3x+z).
As perguntas são:
  • (a) T é injetora? Pedem justificativa usando \operatorname{Ker}T.
  • (b) T é sobrejetora? Pedem justificativa usando \operatorname{Im}T.
  • (c) Conferir que \dim\operatorname{Ker}T+\dim\operatorname{Im}T=3.
Informações relevantes fornecidas (que vamos usar):
  • A regra de T que envia (x,y,z) em (2x-y,\;x+y+z,\;3x+z).
  • Para trabalhar com núcleo e imagem é conveniente representar T pela matriz relativa à base canônica de \mathbb{R}^3, cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
  • Lembretes úteis que usarei depois:
    • \operatorname{Ker}T=\{v\in\mathbb{R}^3:\;T(v)=0\}.
    • \operatorname{Im}T=\{T(v):\;v\in\mathbb{R}^3\} é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T.
    • Teorema da dimensão (rank–nullity): \dim\operatorname{Ker}T+\dim\operatorname{Im}T=\dim\mathbb{R}^3=3.

Passo 2

Representar T por matriz e explicar como isso ajuda.
  • Calcular as imagens das bases canônicas:
    • T(e_1)=T(1,0,0)=(2,1,3).
    • T(e_2)=T(0,1,0)=(-1,1,0).
    • T(e_3)=T(0,0,1)=(0,1,1).
  • Logo a matriz A de T na base canônica é, escrita por colunas,
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e para todo vetor v=(x,y,z) temos T(v)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Explicação didática:
  • Trabalhar com a matriz permite transformar questões sobre injectividade/surjectividade em resolver sistemas lineares e estudar dependência linear das colunas.
  • \operatorname{Ker}T é o espaço solução do sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • \operatorname{Im}T é o subespaço gerado pelas colunas de A: \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(2,1,3),(-1,1,0),(0,1,1)\}.]

Passo 3

Encontrar [\operatorname{Ker}T) resolvendo A(x,y,z)^{T}=0.
Escrevemos o sistema equivalente a T(x,y,z)=(0,0,0):
\begin{cases} 2x - y = 0,\\[4pt] x + y + z = 0,\\[4pt] 3x + z = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação, temos \;y=2x\]. - Da terceira equação, temos \(\;z=-3x.
    - Substituir y=2x e z=-3x na segunda equação: x + (2x) + (-3x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 0=0,que é verdade para todo x (a segunda equação é então redundante dado as outras duas).
  • Portanto as soluções são todos os vetores da forma (x,y,z) = \bigl(x,\;2x,\;-3x\bigr) = x(1,2,-3),com x\in\mathbb{R}.
Conclusões sobre o núcleo:
  • \operatorname{Ker}T=\operatorname{span}\{(1,2,-3)\}.
  • \dim\operatorname{Ker}T=1.
Interpretação para injetividade:
  • Uma transformação linear é injetora se, e somente se, \operatorname{Ker}T=\{0\}.
  • Aqui \operatorname{Ker}T não é só o vetor zero, tem dimensão 1, logo T NÃO é injetora.]

Passo 4

Determinar \operatorname{Im}T (a imagem) e sua dimensão, explicando didaticamente.
  • As colunas de A são os vetores v_1=(2,1,3),\quad v_2=(-1,1,0),\quad v_3=(0,1,1).Assim \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Procurar uma relação linear entre v_1,v_2,v_3 (para ver se são linearmente dependentes):
  • Tentamos escrever v_1 como combinação linear de v_2 e v_3. Procuramos a,b tais que a\,v_2 + b\,v_3 = v_1.Isso dá o sistema componente a componente: -a = 2,\qquad a + b = 1,\qquad b = 3.Da primeira equação a=-2. Da terceira b=3. Verificando a segunda: (-2)+3=1 — consistente. Logo v_1 = -2v_2 + 3v_3.
  • Assim v_1 é combinação linear de v_2 e v_3, portanto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente dependente e as colunas geram no máximo um subespaço de dimensão 2.
Mostrar que v_2 e v_3 são linearmente independentes:
  • Se existisse c\in\mathbb{R} tal que c\,v_2=v_3, então pela primeira componente teríamos -c=0\Rightarrow c=0, mas isso faria a segunda componente 0 em vez de 1, contradição. Logo v_2 e v_3 não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes.
  • Assim \{v_2,v_3\} é uma base de \operatorname{Im}T.
Portanto:
  • \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(-1,1,0),\,(0,1,1)\}.
  • \dim\operatorname{Im}T=2.
Consequência para sobrejetividade:
  • T é sobrejetora se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3, o que exigiria \dim\operatorname{Im}T=3.
  • Como \dim\operatorname{Im}T=2<3, T NÃO é sobrejetora.

Passo 5

Verificar a relação de dimensões (teorema do posto-nulidade) de forma didática.
Explicação do teorema:
  • Para qualquer transformação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale \dim\operatorname{Ker}T + \dim\operatorname{Im}T = \dim V.Aqui V=\mathbb{R}^3, então o lado direito é 3.
Aplicar aos valores encontrados:
  • Encontramos \dim\operatorname{Ker}T=1 e \dim\operatorname{Im}T=2.
  • Soma: \dim\operatorname{Ker}T + \dim\operatorname{Im}T = 1 + 2 = 3,que confere com \dim\mathbb{R}^3=3.
Comentário final de incentivo: já temos o núcleo, a imagem, as dimensões e as conclusões sobre injetividade e sobrejetividade — tudo consistente com o teorema do posto-nulidade. Boa! Continuando assim você domina essas questões de espaços vetoriais rapidinho.

Resposta

(a) Não. \operatorname{Ker}T=\operatorname{span}\{(1,2,-3)\}, logo \dim\operatorname{Ker}T=1.
(b) Não. \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(-1,1,0),\,(0,1,1)\}, logo \dim\operatorname{Im}T=2.
(c) \dim\operatorname{Ker}T+\dim\operatorname{Im}T=1+2=3.

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