Determine se a série numérica sumn=0^infty n!2^n(n+1) é ou não convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=0^infty n!2^n(n+1)
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão, pois envolve fatoriais e potências, e esse teste costuma ser eficiente para comparar crescimentos de n! e 2^n.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão calculando
L ;=;limntoinfty an+1an,
onde
an = n!2^n(n+1)

Passo 3

Vamos escrever a razão explicitamente:
an+1an = (n+1)!2^,n+1(n+2)n!2^n(n+1) = (n+1)!,2^n,(n+1)2^,n+1(n+2),n! = (n+1),(n+1)2,(n+2) = (n+1)^22,(n+2)

Passo 4

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty (n+1)^22,(n+2) = limntoinfty n^2 +2n+12n +4 = limntoinfty n^22n = limntoinfty n2 = +infty
Como esse L é maior que 1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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