Considere f: R R dada por
f(x)=cc raizx^3+6 x^2x & se x neq 0 6 & se x=0
(a) Calcule, se existir, lim x 0 f(x).
(b) É verdade que lim x 0 f(x)=f(0).

Passo 1

Neste exercício vamos calcular limxto0f(x) e verificar se esse limite coincide com f(0). A matéria envolvida é limites laterais e continuidade, e vamos precisar usar propriedades de raízes, valor absoluto e definição de limites laterais.

Passo 2

Para xneq0 temos f(x)=dfracraizx^3+6x^2x. Note que
raizx^3+6x^2=raizx^2(x+6)=|x|raizx+6Logo
f(x)=|x|raizx+6x

Passo 3

Como |x|/x=1 se x>0 e |x|/x=-1 se x<0, temos:
f(x)=raizx+6,&x>0,-raizx+6,&x<0

Passo 4

Para o limite à direita, xto0^+, temos:
limxto0^+f(x)=limxto0^+raizx+6=raiz6
Para o limite à esquerda, xto0^-, temos:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-raizx+6)=-raiz6

Passo 5

Como raiz6neq-raiz6, os limites laterais são diferentes, logo limxto0f(x) não existe. Como esse limite não existe, não pode coincidir com f(0)=6.

Resposta

O limite limxto0f(x) não existe e, portanto, não é igual a f(0)=6.

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