Considere a função f(x)=e^{-x^{2}}. Estime \int_{0}^{1} f(x) d x utilizando a regra dos trapézios composta com n=4.
Trapézio simples: \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)],
Trapézio composto: \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{l}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{n}\right)\right], \quad h=\frac{b-a}{n}, x_{i}=a+i h.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx
pela regra composta dos trapézios com n=4.
Vamos precisar calcular o passo h, os pontos x_{i}, avaliar f(x_{i})=e^{-x_{i}^{2}} e então aplicar a fórmula composta.

Passo 2

O passo é
h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = 0,25.
Os nós são
x_{0}=0,\quad x_{1}=0{,}25,\quad x_{2}=0{,}5,\quad x_{3}=0{,}75,\quad x_{4}=1.

Passo 3

Calculamos f(x_{i})=e^{-x_{i}^{2}}:
f(x_{0}) = e^{-(0)^{2}} = 1,
f(x_{1}) = e^{-(0{,}25)^{2}} = e^{-0{,}0625}\approx 0{,}93941,
f(x_{2}) = e^{-(0{,}5)^{2}} = e^{-0{,}25}\approx 0{,}77880,
f(x_{3}) = e^{-(0{,}75)^{2}} = e^{-0{,}5625}\approx 0{,}56978,
f(x_{4}) = e^{-(1)^{2}} = e^{-1}\approx 0{,}36788.

Passo 4

A regra composta dos trapézios diz:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Bigl[f(x_{0}) + 2\sum_{i=1}^{3}f(x_{i}) + f(x_{4})\Bigr].
Substituindo:
\frac{0{,}25}{2}\Bigl[1 + 2(0{,}93941 + 0{,}77880 + 0{,}56978) + 0{,}36788\Bigr] =0{,}125\bigl[1 + 2\cdot2{,}28799 + 0{,}36788\bigr] =0{,}125\cdot5{,}94386 \approx0{,}74298.

Resposta

A aproximação pelo trapézio composto com n=4 é aproximadamente 0{,}74298.

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