Sendo a equação diferencial e considerando que y(t=0)=1, \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{1}{2} y+t, valor de y em t=0.2. Utilize h=0.1, resolva numericamente esse Problema de Valor Inicial para encontrar o \left\{\begin{aligned} y_{n+1} & =y_{n}+\frac{1}{2}\left(\kappa_{1}+\kappa_{2}\right) \\\ \kappa_{1} & =f\left(t_{n}, y_{n}\right) \\\ \kappa_{2} & =f\left(t_{n}+h, y_{n}+h \kappa_{1}\right) \end{aligned}\right. Passo 1O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial \frac{dy}{dt}=-\tfrac12\,y + t,\quad y(0)=1 usando o método de Heun (Euler melhorado) com passo h=0.1. Nesse método definimos \begin{aligned} \kappa_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\\ \kappa_{2}&=f(t_{n}+h,\;y_{n}+h\,\kappa_{1}),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+\frac{h}{2}\bigl(\kappa_{1}+\kappa_{2}\bigr), \end{aligned} onde f(t,y)=-\tfrac12\,y+t. Vamos aplicar dois passos para chegar em t=0.2. Passo 2Primeiro passo n=0, t_{0}=0, y_{0}=1: \kappa_{1}=f(0,1)=-\tfrac12\cdot1+0=-0.5. O valor predito é y_{0}^{*}=y_{0}+h\,\kappa_{1}=1+0.1\cdot(-0.5)=0.95. Então \kappa_{2}=f(0.1,0.95)=-\tfrac12\cdot0.95+0.1=-0.375, e y_{1}=1+\frac{0.1}{2}\bigl(-0.5-0.375\bigr) =1+0.05\cdot(-0.875)=0.95625. Passo 3Segundo passo n=1, t_{1}=0.1, y_{1}=0.95625: \kappa_{1}=f(0.1,0.95625)=-\tfrac12\cdot0.95625+0.1=-0.378125. O valor predito é y_{1}^{*}=0.95625+0.1\cdot(-0.378125)=0.9184375. Então \kappa_{2}=f(0.2,0.9184375)=-\tfrac12\cdot0.9184375+0.2=-0.25921875, e y_{2}=0.95625+\frac{0.1}{2}\bigl(-0.378125-0.25921875\bigr) =0.95625+0.05\cdot(-0.63734375)=0.9243828125. RespostaO valor aproximado de y em t=0.2 é y(0.2)\approx0.92438. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere a função f(x)=e^{-x^{2}}. Estime \int_{0}^{1} f(x) d x utilizando a regra dos trapézios composta com n=4. Trapézio simples: \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)], Trapézio composto: \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{l}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{n}\right)\right], \quad h=\frac{b-a}{n}, x_{i}=a+i h. Sabendo-se que a reta y=\frac{1}{2} é uma assíntota horizontal para o gráfico de f(x)=\frac{\sqrt{2023+2 a x^{6}}}{b x^{3}+a}, é possível concluir que: Considere dados experimentais de velocidade para um escoamento entre duas placas planas separadas por uma distância de duas unidades. y -1 -0.75 -0.5 0 0.5 0.75 1 v(y) 0 0.1 0.3 0.5 1.0 1.2 1.5 Para o conjunto de dados, estime a vazão Q por unidade de comprimento, onde Q=\int_{-1}^{1} v(y) d y Utilize métodos de 1 / 3 de Simpson, de forma a tentar minimizar o erro cometido. Simpson 1 / 3 (simples): \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right], h=(b-a) / 2 Simpson 1 / 3 (composto): Particionando [a, b] em n=2 N subintervalos de largura h=\frac{b-a}{2 N}, x_{1}=a+i h, \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 \sum_{j=1}^{N} f\left(x_{2 j-1}\right)+2 \sum_{j=1}^{N-1} f\left(x_{2 j}\right)+f\left(x_{2 N}\right)\right].