Sendo a equação diferencial
e considerando que y(t=0)=1, \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{1}{2} y+t, valor de y em t=0.2. Utilize h=0.1, resolva numericamente esse Problema de Valor Inicial para encontrar o
\left\{\begin{aligned} y_{n+1} & =y_{n}+\frac{1}{2}\left(\kappa_{1}+\kappa_{2}\right) \\\ \kappa_{1} & =f\left(t_{n}, y_{n}\right) \\\ \kappa_{2} & =f\left(t_{n}+h, y_{n}+h \kappa_{1}\right) \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt}=-\tfrac12\,y + t,\quad y(0)=1
usando o método de Heun (Euler melhorado) com passo h=0.1.
Nesse método definimos
\begin{aligned} \kappa_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\\ \kappa_{2}&=f(t_{n}+h,\;y_{n}+h\,\kappa_{1}),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+\frac{h}{2}\bigl(\kappa_{1}+\kappa_{2}\bigr), \end{aligned}
onde f(t,y)=-\tfrac12\,y+t. Vamos aplicar dois passos para chegar em t=0.2.

Passo 2

Primeiro passo n=0, t_{0}=0, y_{0}=1:
\kappa_{1}=f(0,1)=-\tfrac12\cdot1+0=-0.5.
O valor predito é
y_{0}^{*}=y_{0}+h\,\kappa_{1}=1+0.1\cdot(-0.5)=0.95.
Então
\kappa_{2}=f(0.1,0.95)=-\tfrac12\cdot0.95+0.1=-0.375,
e
y_{1}=1+\frac{0.1}{2}\bigl(-0.5-0.375\bigr) =1+0.05\cdot(-0.875)=0.95625.

Passo 3

Segundo passo n=1, t_{1}=0.1, y_{1}=0.95625:
\kappa_{1}=f(0.1,0.95625)=-\tfrac12\cdot0.95625+0.1=-0.378125.
O valor predito é
y_{1}^{*}=0.95625+0.1\cdot(-0.378125)=0.9184375.
Então
\kappa_{2}=f(0.2,0.9184375)=-\tfrac12\cdot0.9184375+0.2=-0.25921875,
e
y_{2}=0.95625+\frac{0.1}{2}\bigl(-0.378125-0.25921875\bigr) =0.95625+0.05\cdot(-0.63734375)=0.9243828125.

Resposta

O valor aproximado de y em t=0.2 é
y(0.2)\approx0.92438.

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