Construa a função da forma f(x)=b e^{a x} via quadrados mínimos e meça o erro envolvido.
Passo 1
O que o problema pede: construir uma função da forma f(x)=b e^{a x} que ajuste, por mínimos quadrados, os pares (x_i,y_i) dados e “medir o erro envolvido” nesse ajuste.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Observação didática rápida: para números entre 100 e 400 eu escrevi y_i = m_i\times 10^2 e calculei \ln y_i = \ln m_i + 2\ln 10; para \ln m_i usei séries e pequenas aproximações numéricas (detalhe do cálculo manual).
Passo 4
Agora calculo as somas necessárias (todos os cálculos numéricos mostrados):
Medida do erro envolvido (explicação didática e cálculo): como linearizamos, é natural medir o erro no espaço dos logaritmos. Defino os resíduos logarítmicos
r_i = \ln y_i - (A + a x_i).
O somatório dos quadrados desses resíduos é
\sum_{i=1}^{10} r_i^{2} \approx 0,0091274.
O desvio-padrão dos resíduos (estimador do erro padrão do ajuste em escala logaritmica) é
Interpretação prática: um desvio-padrão em \ln y de 0,03378 corresponde a um fator multiplicativo médio sobre y de
e^{s_{\ln}}\approx e^{0,03378}\approx 1,0344,
ou seja, um erro relativo típico de aproximadamente 3{,}44\% (porque e^{s_{\ln}}-1\approx 0{,}0344). Em palavras: os resíduos, medidos em termos multiplicativos em y, têm dispersão típica cerca de 3{,}4\%.
Passo 8
Resumo prático de uso e observação final: a função que devo usar na prova é f(x)=24{,}27\,e^{0{,}37236 x}. Se precisar prever y para um certo x, basta substituir na fórmula. Lembre-se que pudemos medir o ajuste tanto na escala original (diferenças y_i-f(x_i)) como na escala logarítmica; aqui apresentei a medida natural ao ajustar pela linearização (desvio padrão dos resíduos em \ln-escala e seu equivalente percentual).
Resposta
f(x)\approx 24{,}27\,e^{0{,}37236\,x}
Erro padrão dos resíduos em \ln-escala: s_{\ln}\approx 0{,}03378 (equivalente a um erro multiplicativo típico de \approx 3{,}44\%).