Considere os dados presentes na tabela a seguir:
x_{i} 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1
y_{i} 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72
Construa a função da forma f(x)=b e^{a x} via quadrados mínimos e meça o erro envolvido.

Passo 1

O que o problema pede: construir uma função da forma f(x)=b e^{a x} que ajuste, por mínimos quadrados, os pares (x_i,y_i) dados e “medir o erro envolvido” nesse ajuste.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{cccccccccc} x_i & 4,0 & 4,2 & 4,5 & 4,7 & 5,1 & 5,5 & 5,9 & 6,3 & 6,8 & 7,1\\[4pt] y_i & 102,56 & 113,18 & 130,11 & 142,05 & 167,53 & 195,14 & 224,87 & 256,73 & 299,50 & 326,72 \end{array}
Perguntas explícitas: (1) determinar a e b que minimizam o erro quadrático para o modelo exponencial; (2) fornecer uma medida do erro do ajuste.]

Passo 2

Como linearizamos e por que: se a gente toma logaritmo natural em ambos os lados de f(x)=b e^{a x} obtemos
\ln y = \ln b + a x.
Isso transforma o problema num ajuste linear entre \ln y (variável dependente) e x (variável independente). Vamos ajustar uma reta
\ln y = A + a x,
onde A=\ln b. O método dos mínimos quadrados para a reta fornece as fórmulas (normal equations) abaixo, que vou usar para encontrar a e A:
a=\frac{n\sum x_i\ln y_i - (\sum x_i)(\sum \ln y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad A=\overline{\ln y}-a\,\overline{x},
com \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i e \overline{\ln y}=\dfrac{1}{n}\sum \ln y_i. Depois b=e^{A}. Vou explicar cada soma que calculei.

Passo 3

Calcular \ln y_i para cada y_i. Aqui mostro os valores de \ln y_i obtidos (usei logaritmo natural):
\begin{array}{c|cccccccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\hline \ln y_i & 4,630448 & 4,729047 & 4,868490 & 4,956865 & 5,122070 & 5,273850 & 5,415830 & 5,548000 & 5,702114 & 5,788650 \end{array}
Observação didática rápida: para números entre 100 e 400 eu escrevi y_i = m_i\times 10^2 e calculei \ln y_i = \ln m_i + 2\ln 10; para \ln m_i usei séries e pequenas aproximações numéricas (detalhe do cálculo manual).

Passo 4

Agora calculo as somas necessárias (todos os cálculos numéricos mostrados):
n=10,
\sum x_i = 54,1, \qquad \sum x_i^2 = 303,39,
\sum \ln y_i = 52,03537, \qquad \sum x_i\ln y_i = 285,497596.
Comentário: cada uma dessas somas foi obtida somando-se os valores da tabela e os produtos x_i\ln y_i listados no Passo 3.

Passo 5

Calcular a usando a fórmula dos mínimos quadrados:
\text{denominador}=n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 = 10\cdot 303,39 - (54,1)^2 = 107,09,
\text{numerador}=n\sum x_i\ln y_i - (\sum x_i)(\sum \ln y_i) =10\cdot 285,497596 - 54,1\cdot 52,03537 = 39,862443.
Logo
a=\frac{39,862443}{107,09}\approx 0,37236.

Passo 6

Calcular A=\ln b:
\overline{x}=\frac{54,1}{10}=5,41,\qquad \overline{\ln y}=\frac{52,03537}{10}=5,203537,
A=\overline{\ln y}-a\,\overline{x}=5,203537-0,37236\cdot 5,41\approx 3,189096.
Logo
b=e^{A}=e^{3,189096}\approx 24,27.
Portanto o modelo ajustado é
f(x)=b e^{a x}\approx 24,27\;e^{0,37236\,x}.

Passo 7

Medida do erro envolvido (explicação didática e cálculo): como linearizamos, é natural medir o erro no espaço dos logaritmos. Defino os resíduos logarítmicos
r_i = \ln y_i - (A + a x_i).
O somatório dos quadrados desses resíduos é
\sum_{i=1}^{10} r_i^{2} \approx 0,0091274.
O desvio-padrão dos resíduos (estimador do erro padrão do ajuste em escala logaritmica) é
s_{\ln}=\sqrt{\frac{\sum r_i^{2}}{n-2}}=\sqrt{\frac{0,0091274}{8}}\approx 0,03378.
Interpretação prática: um desvio-padrão em \ln y de 0,03378 corresponde a um fator multiplicativo médio sobre y de
e^{s_{\ln}}\approx e^{0,03378}\approx 1,0344,
ou seja, um erro relativo típico de aproximadamente 3{,}44\% (porque e^{s_{\ln}}-1\approx 0{,}0344). Em palavras: os resíduos, medidos em termos multiplicativos em y, têm dispersão típica cerca de 3{,}4\%.

Passo 8

Resumo prático de uso e observação final: a função que devo usar na prova é f(x)=24{,}27\,e^{0{,}37236 x}. Se precisar prever y para um certo x, basta substituir na fórmula. Lembre-se que pudemos medir o ajuste tanto na escala original (diferenças y_i-f(x_i)) como na escala logarítmica; aqui apresentei a medida natural ao ajustar pela linearização (desvio padrão dos resíduos em \ln-escala e seu equivalente percentual).

Resposta

f(x)\approx 24{,}27\,e^{0{,}37236\,x}
Erro padrão dos resíduos em \ln-escala: s_{\ln}\approx 0{,}03378 (equivalente a um erro multiplicativo típico de \approx 3{,}44\%).

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