Considere os dados presentes na tabela a seguir:
x_{i} 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1
y_{i} 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72
Construa a função da forma f(x)=b x^{a} via quadrados mínimos e meça o erro envolvido.

Passo 1

O que o problema pede: construir uma função da forma \,f(x)=b\,x^{a}\, ajustada aos dados por quadrados mínimos e “medir o erro envolvido” (vou calcular soma dos quadrados dos resíduos, erro quadrático médio raiz — RMSE — e o coeficiente de determinação R^2).
Dados fornecidos (peguei todos os (x_i,y_i) diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{l} (x_1,y_1)=(4{,}0,\;102{,}56)\\\ (x_2,y_2)=(4{,}2,\;113{,}18)\\\ (x_3,y_3)=(4{,}5,\;130{,}11)\\\ (x_4,y_4)=(4{,}7,\;142{,}05)\\\ (x_5,y_5)=(5{,}1,\;167{,}53)\\\ (x_6,y_6)=(5{,}5,\;195{,}14)\\\ (x_7,y_7)=(5{,}9,\;224{,}87)\\\ (x_8,y_8)=(6{,}3,\;256{,}73)\\\ (x_9,y_9)=(6{,}8,\;299{,}50)\\\ (x_{10},y_{10})=(7{,}1,\;326{,}72) \end{array}

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas): para ajustar \,y=b x^{a}\, por quadrados mínimos transformamos tomando logaritmo natural nos dois lados. Isso lineariza o modelo:
\ln y = \ln b + a\ln x.
Defina \,X_i=\ln x_i e \,Y_i=\ln y_i. O modelo linear é
Y_i = A + a X_i + \varepsilon_i,
onde \,A=\ln b\, e \varepsilon_i são os resíduos no espaço log. O ajuste por mínimos quadrados para a regressão linear fornece as fórmulas (explico cada símbolo):
a=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2},
A=\frac{\sum Y_i - a\sum X_i}{n}.
Aqui n é o número de observações ( n=10). Depois de obter A obtemos b=\mathrm{e}^{A}. Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos \sum (Y_i -(A+aX_i))^2 e resolvendo as equações normais; é a forma standard da regressão linear OLS.

Passo 3

Cálculo dos \,X_i=\ln x_i e \,Y_i=\ln y_i (os valores numéricos abaixo foram obtidos tomando ln dos dados da tabela):
\begin{array}{l} X_1=\ln 4{,}0=1{,}38629,\quad Y_1=\ln 102{,}56=4{,}63045,\\[2pt] X_2=\ln 4{,}2=1{,}43508,\quad Y_2=\ln 113{,}18=4{,}72790,\\[2pt] X_3=\ln 4{,}5=1{,}50408,\quad Y_3=\ln 130{,}11=4{,}86877,\\[2pt] X_4=\ln 4{,}7=1{,}54756,\quad Y_4=\ln 142{,}05=4{,}95547,\\[2pt] X_5=\ln 5{,}1=1{,}62924,\quad Y_5=\ln 167{,}53=5{,}12067,\\[2pt] X_6=\ln 5{,}5=1{,}70475,\quad Y_6=\ln 195{,}14=5{,}27407,\\[2pt] X_7=\ln 5{,}9=1{,}77495,\quad Y_7=\ln 224{,}87=5{,}41667,\\[2pt] X_8=\ln 6{,}3=1{,}84055,\quad Y_8=\ln 256{,}73=5{,}54907,\\[2pt] X_9=\ln 6{,}8=1{,}91692,\quad Y_9=\ln 299{,}50=5{,}70117,\\[2pt] X_{10}=\ln 7{,}1=1{,}96009,\quad Y_{10}=\ln 326{,}72=5{,}78837. \end{array}
(Expliquei o cálculo: por exemplo \ln 4{,}0 e \ln 102{,}56 foram obtidos diretamente pelo log natural das medidas na tabela.)]

Passo 4

Calcule as somas necessárias (vou mostrar os resultados numéricos usados nas fórmulas):
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{10} X_i &= 16{,}69951,\\\ \sum_{i=1}^{10} Y_i &= 52{,}03261,\\\ \sum_{i=1}^{10} X_i^2 &= 28{,}25662,\\\ \sum_{i=1}^{10} X_iY_i &= 87{,}62944. \end{aligned}
(Estas somas foram obtidas somando os valores listados no Passo 3; cada número acima está arredondado com precisão suficiente para o ajuste.)

Passo 5

Calcule o expoente a usando a fórmula da regressão linear:
a=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2}.
Substituindo os números:
a=\frac{10\cdot 87{,}62944 - 16{,}69951\cdot 52{,}03261}{10\cdot 28{,}25662 - (16{,}69951)^2}.
Fazendo as operações (mostro o resultado arredondado):
a\approx 2{,}004.
Interpretação curta: o expoente está muito próximo de 2, o que sugere uma relação aproximadamente quadrática y\propto x^2.

Passo 6

Calcule A=\ln b e depois b:
A=\frac{\sum Y_i - a\sum X_i}{n}=\frac{52{,}03261 - 2{,}004\cdot 16{,}69951}{10}\approx 1{,}85668.
Portanto
b=\mathrm{e}^{A}\approx \mathrm{e}^{1{,}85668}\approx 6{,}40.
Logo o modelo ajustado é aproximadamente \,f(x)=6{,}40\,x^{2{,}004}\,. (Arredondei b para duas casas significativas; mantivemos a com três decimais.)

Passo 7

Para “medir o erro” precisamos comparar os valores observados y_i com os preditos \hat y_i=b x_i^a. Vou calcular \hat y_i e os resíduos e_i=y_i-\hat y_i — mostro os valores aproximados:
\begin{array}{l} \hat y_1\approx 102{,}17,\quad e_1\approx 0{,}39,\\\ \hat y_2\approx 113{,}55,\quad e_2\approx -0{,}37,\\\ \hat y_3\approx 130{,}38,\quad e_3\approx -0{,}27,\\\ \hat y_4\approx 142{,}24,\quad e_4\approx -0{,}19,\\\ \hat y_5\approx 167{,}57,\quad e_5\approx -0{,}04,\\\ \hat y_6\approx 194{,}91,\quad e_6\approx 0{,}23,\\\ \hat y_7\approx 224{,}38,\quad e_7\approx 0{,}49,\\\ \hat y_8\approx 255{,}87,\quad e_8\approx 0{,}86,\\\ \hat y_9\approx 298{,}20,\quad e_9\approx 1{,}30,\\\ \hat y_{10}\approx 325{,}18,\quad e_{10}\approx 1{,}54. \end{array}
Os resíduos são bem pequenos em valor absoluto, o que indica bom ajuste.

Passo 8

Cálculo das medidas de erro (fórmulas e resultados):
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
\mathrm{SSE}=\sum_{i=1}^{10} (y_i-\hat y_i)^2\approx 5{,}51.
Erro quadrático médio raiz (RMSE) — usando divisão por n —:
\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{\mathrm{SSE}}{n}}\approx \sqrt{\frac{5{,}51}{10}}\approx 0{,}742.
(desde que estimamos 2 parâmetros, a estimativa de erro padrão do ajuste é \sqrt{\mathrm{SSE}/(n-2)}\approx 0{,}830; isto é útil para inferência.)
Coeficiente de determinação R^2 (fração da variância explicada):
R^2 = 1-\frac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}},
onde \mathrm{SST}=\sum (y_i-\bar y)^2 é a soma total de quadrados. Calculando temos \mathrm{SST}\approx 55\,959{,}7 e então
R^2 \approx 1-\frac{5{,}51}{55\,959{,}7}\approx 0{,}99990.
Isso confirma que o ajuste explica praticamente toda a variação observada (porque os pontos seguem quase perfeitamente a lei potência com expoente ≈2).

Passo 9

Resumo prático e dica para prova: para ajustar y=b x^{a} por quadrados mínimos, sempre linearize com log: ajuste \ln y contra \ln x por regressão linear, calcule a e A=\ln b pelas fórmulas padrão, depois exponencie para obter b. Verifique erros calculando SSE e RMSE no espaço original (ou use os resíduos em log para medir ajuste relativo). Neste exercício o ajuste deu a\approx 2{,}004 e b\approx 6{,}40, com erro pequeno (SSE e RMSE conforme calculado), o que você pode usar na prova para justificar bom ajuste.

Resposta

f(x)\approx 6{,}40\,x^{2{,}004}
\mathrm{SSE}\approx 5{,}51
\mathrm{RMSE}\approx 0{,}742
R^{2}\approx 0{,}99990

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