Considere os dados presentes na tabela a seguir:
4.0
4.2
4.5
4.7
5.1
5.5
5.9
6.3
6.8
7.1
102.56
113.18
130.11
142.05
167.53
195.14
224.87
256.73
299.50
326.72
Construa a função da forma
via quadrados mínimos e meça o erro envolvido.
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4.0 | 4.2 | 4.5 | 4.7 | 5.1 | 5.5 | 5.9 | 6.3 | 6.8 | 7.1 |
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102.56 | 113.18 | 130.11 | 142.05 | 167.53 | 195.14 | 224.87 | 256.73 | 299.50 | 326.72 |
Passo 1
O que o problema pede: construir uma função da forma
ajustada aos dados por quadrados mínimos e “medir o erro envolvido” (vou calcular soma dos quadrados dos resíduos, erro quadrático médio raiz — RMSE — e o coeficiente de determinação
).
Dados fornecidos (peguei todos os diretamente da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (peguei todos os
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas): para ajustar
por quadrados mínimos transformamos tomando logaritmo natural nos dois lados. Isso lineariza o modelo:
Defina
e
. O modelo linear é
onde
e
são os resíduos no espaço log. O ajuste por mínimos quadrados para a regressão linear fornece as fórmulas (explico cada símbolo):
Aqui
é o número de observações (
). Depois de obter
obtemos
. Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
e resolvendo as equações normais; é a forma standard da regressão linear OLS.
Passo 3
Cálculo dos
e
(os valores numéricos abaixo foram obtidos tomando ln dos dados da tabela):
(Expliquei o cálculo: por exemplo
e
foram obtidos diretamente pelo log natural das medidas na tabela.)]
Passo 4
Calcule as somas necessárias (vou mostrar os resultados numéricos usados nas fórmulas):
(Estas somas foram obtidas somando os valores listados no Passo 3; cada número acima está arredondado com precisão suficiente para o ajuste.)
Passo 5
Calcule o expoente
usando a fórmula da regressão linear:
Substituindo os números:
Fazendo as operações (mostro o resultado arredondado):
Interpretação curta: o expoente está muito próximo de
, o que sugere uma relação aproximadamente quadrática
.
Passo 6
Calcule
e depois
:
Portanto
Logo o modelo ajustado é aproximadamente
. (Arredondei
para duas casas significativas; mantivemos
com três decimais.)
Passo 7
Para “medir o erro” precisamos comparar os valores observados
com os preditos
. Vou calcular
e os resíduos
— mostro os valores aproximados:
Os resíduos são bem pequenos em valor absoluto, o que indica bom ajuste.
Passo 8
Cálculo das medidas de erro (fórmulas e resultados):
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
Erro quadrático médio raiz (RMSE) — usando divisão por
—:
(desde que estimamos 2 parâmetros, a estimativa de erro padrão do ajuste é
; isto é útil para inferência.)
Coeficiente de determinação
(fração da variância explicada):
onde
é a soma total de quadrados. Calculando temos
e então
Isso confirma que o ajuste explica praticamente toda a variação observada (porque os pontos seguem quase perfeitamente a lei potência com expoente ≈2).
Passo 9
Resumo prático e dica para prova: para ajustar
por quadrados mínimos, sempre linearize com log: ajuste
contra
por regressão linear, calcule
e
pelas fórmulas padrão, depois exponencie para obter
. Verifique erros calculando SSE e RMSE no espaço original (ou use os resíduos em log para medir ajuste relativo). Neste exercício o ajuste deu
e
, com erro pequeno (SSE e RMSE conforme calculado), o que você pode usar na prova para justificar bom ajuste.