O pedido é: construir o polinômio de grau dois por mínimos quadrados (ou seja, achar \hat y(x)=a + b x + c x^2 que minimize a soma dos quadrados dos resíduos) e “medir o erro envolvido” (vou computar a soma dos quadrados dos resíduos, o RMSE e o desvio padrão do ajuste e também R^2 para avaliar a qualidade do ajuste).]
Passo 2
Relembrando a teoria (passo-a-passo, sem pular): para ajustar um polinômio quadrático \hat y(x)=a + b x + c x^2\) por mínimos quadrados com \(n\) pontos, escrevemos as equações normais obtidas ao derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação a \(a,b,c\). As equações normais são:
\[\begin{cases} n a + \left(\sum x_i\right) b + \left(\sum x_i^2\right) c = \sum y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i\right) a + \left(\sum x_i^2\right) b + \left(\sum x_i^3\right) c = \sum x_i y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i^2\right) a + \left(\sum x_i^3\right) b + \left(\sum x_i^4\right) c = \sum x_i^2 y_i. \end{cases}
Explicando as quantidades: \sum x_i\] é a soma dos \(x-valores; \sum x_i^2 é a soma dos quadrados dos x; \sum x_i y_i é a soma dos produtos x_i y_i; etc. Essas somas são calculadas diretamente a partir da tabela de dados.]
Passo 3
Calculei todas as somas necessárias (usei os (x_i,y_i) da tabela):
Vou resolver esse sistema por eliminação de Gauss (método direto), passo a passo para não pular nada.]
Passo 5
Eliminação (detalhando os passos aritméticos):
Subtraio 5{,}41 vezes a primeira equação da segunda (pois 54{,}1/10=5{,}41) e obtenho:
0\cdot a + 10{,}709\,b + 118{,}5061\,c = 772{,}6531.
Subtraio 30{,}339 vezes a primeira equação da terceira (pois 303{,}39/10=30{,}339) e obtenho:
0\cdot a + 118{,}4911\,b + 1318{,}57149\,c = 8591{,}08689.
Agora tenho um sistema 2×2 em b,c.
Passo 6
Continuando a eliminação para b,c:
Divido convenientemente e elimino b. Subtraindo \dfrac{118{,}4911}{10{,}709}\approx 11{,}064628 vezes a nova segunda equação da nova terceira equação, chego a
0\cdot b + 7{,}34557777\,c = 41{,}96776674.
Logo:
c = \frac{41{,}96776674}{7{,}34557777}\approx 5{,}713072.
Passo 7
Com c encontrado, volto para a equação que liga b e c:
10{,}709\,b + 118{,}5061\cdot c = 772{,}6531.
Substituindo c\approx 5{,}713072 e isolando b resulta
b \approx 8{,}928860.
Passo 8
Com b e c conhecidos, volto à primeira equação para encontrar a:
10\,a + 54{,}1\,b + 303{,}39\,c = 1958{,}39.
Substituindo b e c e resolvendo para a dá
a \approx -25{,}795024.
Passo 9
Portanto o polinômio ajustado (rodeado de notação) é
\hat y(x)=a + b x + c x^2 \quad\text{com}\quad a\approx -25{,}795024,\; b\approx 8{,}928860,\; c\approx 5{,}713072.
Agora vamos “medir o erro”: calculo os resíduos r_i = y_i - \hat y(x_i) para cada ponto e a soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
Estimador do desvio padrão dos resíduos (desvio padrão da estimativa), usando grau de liberdade n-p com p=3 parâmetros:
s = \sqrt{\frac{\text{SSE}}{n-p}} = \sqrt{\frac{6{,}193933}{10-3}} = \sqrt{\frac{6{,}193933}{7}} \approx 0{,}94106.
Coeficiente de determinação R^2 (fração da variação explicada pelo modelo): calculei também a soma total dos quadrados \text{SST}\approx 55974{,}88009, daí