Considere os dados presentes na tabela a seguir:
x_{i} 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1
y_{i} 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72
Construa o polinômio de grau dois via quadrados mínimos e meça o erro envolvido.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com dez pares (x_i,y_i). Eu peguei esses valores da tabela do enunciado:
\begin{array}{cccccccccc} x_i: & 4{,}0 & 4{,}2 & 4{,}5 & 4{,}7 & 5{,}1 & 5{,}5 & 5{,}9 & 6{,}3 & 6{,}8 & 7{,}1\\[4pt] y_i: & 102{,}56 & 113{,}18 & 130{,}11 & 142{,}05 & 167{,}53 & 195{,}14 & 224{,}87 & 256{,}73 & 299{,}50 & 326{,}72 \end{array}
O pedido é: construir o polinômio de grau dois por mínimos quadrados (ou seja, achar \hat y(x)=a + b x + c x^2 que minimize a soma dos quadrados dos resíduos) e “medir o erro envolvido” (vou computar a soma dos quadrados dos resíduos, o RMSE e o desvio padrão do ajuste e também R^2 para avaliar a qualidade do ajuste).]

Passo 2

Relembrando a teoria (passo-a-passo, sem pular): para ajustar um polinômio quadrático \hat y(x)=a + b x + c x^2\) por mínimos quadrados com \(n\) pontos, escrevemos as equações normais obtidas ao derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação a \(a,b,c\). As equações normais são: \[\begin{cases} n a + \left(\sum x_i\right) b + \left(\sum x_i^2\right) c = \sum y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i\right) a + \left(\sum x_i^2\right) b + \left(\sum x_i^3\right) c = \sum x_i y_i,\\[4pt] \left(\sum x_i^2\right) a + \left(\sum x_i^3\right) b + \left(\sum x_i^4\right) c = \sum x_i^2 y_i. \end{cases}
Explicando as quantidades: \sum x_i\] é a soma dos \(x-valores; \sum x_i^2 é a soma dos quadrados dos x; \sum x_i y_i é a soma dos produtos x_i y_i; etc. Essas somas são calculadas diretamente a partir da tabela de dados.]

Passo 3

Calculei todas as somas necessárias (usei os (x_i,y_i) da tabela):
\begin{aligned} n &= 10,\\[4pt] \sum x_i &= 54{,}1,\\[4pt] \sum x_i^2 &= 303{,}39,\\[4pt] \sum x_i^3 &= 1759{,}831,\\[4pt] \sum x_i^4 &= 10523{,}1207,\\[4pt] \sum y_i &= 1958{,}39,\\[4pt] \sum x_i y_i &= 11367{,}543,\\[4pt] \sum x_i^2 y_i &= 68006{,}6811. \end{aligned}
(Estes valores foram obtidos somando cada coluna calculada a partir dos dados da tabela.)]

Passo 4

Agora substituí essas somas nas equações normais para formar o sistema linear para (a,b,c):
\begin{cases} 10\,a + 54{,}1\,b + 303{,}39\,c = 1958{,}39,\\[4pt] 54{,}1\,a + 303{,}39\,b + 1759{,}831\,c = 11367{,}543,\\[4pt] 303{,}39\,a + 1759{,}831\,b + 10523{,}1207\,c = 68006{,}6811. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por eliminação de Gauss (método direto), passo a passo para não pular nada.]

Passo 5

Eliminação (detalhando os passos aritméticos):
  • Subtraio 5{,}41 vezes a primeira equação da segunda (pois 54{,}1/10=5{,}41) e obtenho:
0\cdot a + 10{,}709\,b + 118{,}5061\,c = 772{,}6531.
  • Subtraio 30{,}339 vezes a primeira equação da terceira (pois 303{,}39/10=30{,}339) e obtenho:
0\cdot a + 118{,}4911\,b + 1318{,}57149\,c = 8591{,}08689.
Agora tenho um sistema 2×2 em b,c.

Passo 6

Continuando a eliminação para b,c:
  • Divido convenientemente e elimino b. Subtraindo \dfrac{118{,}4911}{10{,}709}\approx 11{,}064628 vezes a nova segunda equação da nova terceira equação, chego a
0\cdot b + 7{,}34557777\,c = 41{,}96776674.
  • Logo:
c = \frac{41{,}96776674}{7{,}34557777}\approx 5{,}713072.

Passo 7

Com c encontrado, volto para a equação que liga b e c:
10{,}709\,b + 118{,}5061\cdot c = 772{,}6531.
Substituindo c\approx 5{,}713072 e isolando b resulta
b \approx 8{,}928860.

Passo 8

Com b e c conhecidos, volto à primeira equação para encontrar a:
10\,a + 54{,}1\,b + 303{,}39\,c = 1958{,}39.
Substituindo b e c e resolvendo para a
a \approx -25{,}795024.

Passo 9

Portanto o polinômio ajustado (rodeado de notação) é
\hat y(x)=a + b x + c x^2 \quad\text{com}\quad a\approx -25{,}795024,\; b\approx 8{,}928860,\; c\approx 5{,}713072.
Agora vamos “medir o erro”: calculo os resíduos r_i = y_i - \hat y(x_i) para cada ponto e a soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
\text{SSE}=\sum_{i=1}^{10} r_i^2 \approx 6{,}193933.

Passo 10

Interpretações e medidas adicionais de erro (úteis para a prova):
  • Erro quadrático médio (RMSE), usando divisão por n:
\text{RMSE} = \sqrt{\frac{\text{SSE}}{n}} \approx \sqrt{\frac{6{,}193933}{10}} \approx 0{,}78707.
  • Estimador do desvio padrão dos resíduos (desvio padrão da estimativa), usando grau de liberdade n-p com p=3 parâmetros:
s = \sqrt{\frac{\text{SSE}}{n-p}} = \sqrt{\frac{6{,}193933}{10-3}} = \sqrt{\frac{6{,}193933}{7}} \approx 0{,}94106.
  • Coeficiente de determinação R^2 (fração da variação explicada pelo modelo): calculei também a soma total dos quadrados \text{SST}\approx 55974{,}88009, daí
R^2 = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} \approx 1 - \frac{6{,}193933}{55974{,}88009} \approx 0{,}999889.
Isto indica que o ajuste descreve os dados muito bem (resíduos pequenos em comparação à variabilidade total).

Resposta

\hat y(x) = -25{,}795024 + 8{,}928860\,x + 5{,}713072\,x^2
\text{SSE} \approx 6{,}193933,\quad \text{RMSE} \approx 0{,}78707,\quad s\\ (\text{estimador})\approx 0{,}94106,\quad R^2 \approx 0{,}999889

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